Методическое пособие 704
.pdfКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
ЗАДАЧА 40. На комплексной плоскости изобразите область, заданную неравенствами:
1) |
| z 1| 2 , |
| z 1| 2 , |
0 arg z 2 ; |
|||
2) |
| z 2 i | 1 , |
1 Re z 3 , |
0 Im z 3 ; |
|||
3) |
1 | z 1 | 2 , |
Im z 0 , |
Re z 1; |
|||
4) |
| z 1 i | 1 , |
| arg z | 4 ; |
|
|||
5) |
| z i | 1 , |
4 arg z 0 ; |
|
|||
6) |
| z i | 2 , |
| z i | 2 ; |
|
|
||
7) |
| z 1 i | 1 , |
Im z 1, |
Re z 1; |
|||
8) |
| z i | 1, |
|
0 arg z 4 ; |
|
||
9) |
| z 1 i | 1 , |
0 Re z 2 , |
2 Im z 0 ; |
|||
10) |
1 | z i | 2 , |
Re z 0 , |
Im z 1; |
|||
11) |
| z | 2 , |
Re z 1, | arg z | 4 ; |
||||
12) |
| z | 1 , |
1 Im z 1, |
0 Re z 2 ; |
|||
13) |
| z 2 i | 2 , |
Re z 3 , |
Im z 1; |
14)| z i | 1 , 3 4 arg z 4 ;
15)| z 2 i | 2 , 4 arg z 2 ;
16) |
| z 1 | 1, |
| z i | 1 , |
Re z 0 ; |
||
17) |
| z i | 1 , |
| z | 2 , |
3 4 arg z 0 ; |
||
18) |
1 | z i | 2 , |
6 arg z 4 ; |
|||
19) |
| z 1 2i | 2 , |
Re z 0 ; |
|||
20) |
| z 1 2i | 3 , |
0 arg z 2 . |
121
ЗАДАЧА 41. Используя алгебраическую форму комплексного
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
z z |
2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
числа, вычислите: а) |
(z 2z |
|
|
)z |
; б) |
|
1 |
1 |
3 |
; в) |
|
z |
|
|
; г) |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
z2 z3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z , |
z |
|
, |
z |
|
; |
д) Re |
z1 |
|
; е) Im |
z1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
z1 |
|
|
|
z2 |
z3 |
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
z2 |
|
z3 |
|
||||||
1) |
1 2i , |
2 i , |
3 2i ; |
|
|
|
|
2) |
2 3i , |
|
3 i , |
4 5i ; |
||||||||||||||
3) |
1 3i , |
1 2i , |
3 4i ; |
|
|
|
|
4) |
3 i , |
|
4 2i , |
2 3i ; |
||||||||||||||
5) |
|
2 i , |
3 2i , |
4 3i ; |
|
|
|
|
6) |
1 3i , |
|
2 i , |
1 5i ; |
|||||||||||||
7) |
1 3i , |
3 i , |
7 9i ; |
|
|
|
|
8) |
1 i , |
|
4 3i , |
2 i ; |
||||||||||||||
9) |
|
2 i , |
5 i , |
4 8i ; |
|
|
|
|
10) |
1 3i , |
|
3 2i , |
3 5i ; |
|||||||||||||
11) |
2 i , |
1 3i , |
3 5i ; |
|
|
|
|
12) |
3 i , |
|
1 8i , |
5 2i ; |
||||||||||||||
13) |
1 8i |
, 1 i , |
3 4i ; |
|
|
|
|
14) |
5 2i , |
|
1 i , |
2 3i ; |
||||||||||||||
15) |
2i 3 , |
1 3i , |
3 4i ; |
|
|
|
|
16) |
i 5 , |
|
1 2i , |
3 4i ; |
||||||||||||||
17) |
3i 2 , |
1 4i , |
1 2i ; |
|
|
|
|
18) |
6 i , |
|
i 1, |
8 12i ; |
||||||||||||||
19) |
2i 1 , |
5 2i , |
1 i ; |
|
|
|
|
20) |
3 2i , |
|
1 i , |
2 3i . |
ЗАДАЧА 42. Найдите все значения корня, используя тригонометрическую форму комплексного числа, и изобразите эти значения точками комплексной плоскости.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
4 1 i 3 |
; |
2) |
4 1 i 3 |
; |
3) |
4 |
|
1 i 3 |
|
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 i 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
i |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4) |
; |
5) |
4 8 i8 3 ; |
6) |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i 3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
4 |
|
18 |
|
; |
|
|
8) |
4 |
|
2 |
; |
|
|
|
9) |
3 |
|
|
1 i |
; |
|||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
3 |
|
|
|
|
1 |
i |
|
|
|
|
|
|
3 i |
|
|
|
122
|
3 1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10) |
3 ; |
|
|
|
11) |
4 8 i8 3 ; |
12) |
3 27i ; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
13) |
3 2i ; |
14) |
4 12 2i ; |
15) |
|
3 2i ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16) |
2 i4 |
2 ; |
17) |
4 128 i128 3 ; |
18) |
|
2 i4 2 ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19) |
4 128 i128 |
3 ; |
20) |
4 8 i8 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ЗАДАЧА 43. Дано комплексное число z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) Выполните действия и запишите число z |
в тригонометри- |
ческой форме, изобразите его на комплексной плоскости. б) Вычислите zn , где n ( 1)N N , N - номер Вашего варианта.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
Вычислите |
|
z |
|
и изобразите все значения корня на ком- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
плексной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) |
Вычислите |
4 z |
и изобразите все значения корня на ком- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
плексной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) z |
|
|
|
6 i |
|
|
|
2 |
; |
|
|
2) z |
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
3) z |
|
|
4 4i 3 |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 i 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4) z 4 3 4i ; |
5) z |
|
|
|
|
5 |
i |
15 |
|
; |
|
6) z |
|
|
|
6 |
i |
18 |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 i 18 |
|
|
|
|
|
5 i 15 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7) z 1 |
|
|
i 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
8) z |
|
|
2 i 6 |
; |
|
|
|
|
|
|
9) z |
|
1 |
i |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 i |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) |
z 3 |
3 |
i ; |
11) |
z |
3 i |
3 ; |
|
12) z |
1 i 3 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 i 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13) |
z |
|
|
|
18 i |
|
6 |
|
; |
14) |
z 3 |
i 3 ; |
15) z 4 3 4i ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15 i 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 i |
|
|
|
|
|
|
1 i 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 4 4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
17) |
z |
|
|
|
|
|
|
3 i |
|
|
|
; |
|
18) z |
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 i 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 3i |
|
|
|
|
|
|
|
2 i 6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19) |
z |
|
|
|
6 i 2 |
; |
|
|
|
|
|
20) |
z |
|
|
|
1 i 3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
123
ЗАДАЧА 44. С помощью алгоритма Евклида найдите НОД и НОК данных чисел. Найдите линейное представление НОД.
1) |
1734, |
2466; |
11) |
4623, |
3743; |
2) |
4373, |
1652; |
12) |
1073, |
3683; |
3) |
3791, |
3281; |
13) |
2576, |
1078; |
4) |
2058, |
2849; |
14) |
6494, |
5304; |
5) |
6188, |
4709; |
15) |
1474, |
4958; |
6) |
1767, |
2223; |
16) |
1656, |
1150; |
7) |
2046, |
1518; |
17) |
1023, |
14883; |
8) |
2324, |
42598; |
18) |
2516, |
3655; |
9) |
1989, |
2924; |
19) |
2652, |
2516; |
10) |
1518, |
21299; |
20) |
1694, |
2576. |
ЗАДАЧА 45. Найдите НОД и НОК данных чисел двумя способами – с помощью алгоритма Евклида и с помощью разложения чисел на простые множители.
1) |
8580, |
19890; |
2) |
41140, |
6630; |
3) |
17160, |
28050; |
4) |
12012, |
37128; |
5) |
23562, |
18564; |
6) |
47124, |
14014; |
7) |
39780, |
6006; |
8) |
36652, |
9945; |
9) |
56628, |
9282; |
10) |
43316, |
6732; |
11) |
17160, |
39780; |
12) |
82280, |
13260; |
13) |
34320, |
56100; |
14) |
24024, |
74256; |
15) |
47124, |
55692; |
16) |
94248, |
42042; |
17) |
79560, |
18018; |
18) |
73304, |
19890; |
19) |
113256, |
27846; |
20) |
86632, |
20196. |
124
ЗАДАЧА 46. Выясните, какие из данных чисел сравнимы по модулю m. Проверьте, можно ли из этих чисел составить полную систему вычетов по модулю m (ответ обосновать).
1) |
21, 2, -18, 28, -19, 40, -22, -2, 15, 19; |
m=9; |
2) |
17, 43, -61, -83, 503, -213, -105, 173, -15, -56; |
m=8; |
3) |
-68, 35, -32, 20, -47, -80, 176, -10, 59; |
m=7; |
4) |
100, 186, 59, 77, 44, -40, 46, -72, 65; |
m=6; |
5) |
168, -87, 78, 154, -124, 82, 43, -169, -15; |
m=6; |
6) |
-121, 31, 165, 29, 348, 512, -20, 5, -17; |
m=8; |
7) |
16, -61, 84, -40, 97, 253, -130, 116, -121; |
m=7; |
8) |
-83, -213, 17, 43, -61, 503, -105, 173, -15; |
m=9; |
9) |
28, -19, 40, -22, -2, 15, 19, -68, 35; |
m=6; |
10) |
32, 20, 100, 59, 77, 46, -72, -169, -17; |
m=7; |
11) |
29, -80, -48, 79, 512, -389, 331, -427, 52; |
m=5; |
12) |
82, 43, -169, -15, 89, 503, 108, -97, 202; |
m=9; |
13) |
136, -85, 174, 36, 111, 85, -127, 143, -102; |
m=8; |
14) |
253, -130, 512, 84, -40, 124, 59, 176, 503; |
m=7; |
15) |
21, 43, -32, 77, -124, 512, -130, 173, 35; |
m=6; |
16) |
19, -173, 46, 82, 176, 348, -40, 17, 22; |
m=9; |
17) |
12, -61, 20, 44, -82, 512, 253, -97, 329; |
m=5; |
18) |
28, 168, -32, 135, -59, 186, 154, -124, 116; |
m=6; |
19) |
101, -223, 315, -79, 476, 383, 153,-430, 128; |
m=7; |
20) |
259, 134, -171, 130, 103, -148, 278, 141, -368; |
m=8. |
125
ЗАДАЧА 47. Найдите количество натуральных чисел, не превышающих данного числа n и взаимно простых с n .
1) |
n=7194; |
8) |
n=6336; |
15) |
n=5280; |
|
2) |
n=1575; |
9) |
n=6160; |
16) |
n=1368; |
|
3) |
n=1440; |
10) n=2268; |
17) |
n=5808; |
||
4) |
n=12168; |
11) |
n=6264; |
18) |
n=7056; |
|
5) |
n=19305; |
12) |
n=2340; |
19) |
n=3960; |
|
6) |
n=1560; |
13) |
n=5544; |
20) |
n=8424. |
|
7) |
n=4356; |
14) |
n=2080; |
|
|
ЗАДАЧА 48. Найдите остаток rm (a) от деления данного числа
a на число m . |
|
|
|
|
|
1) |
a 17235 2 11 , m 14 ; |
11) |
a 34122 719 , m 26 ; |
||
2) |
a 37247 1 , |
m 7 ; |
12) |
a 580 |
7100 , m 13 ; |
3) |
a 19231 3 , |
m 16 ; |
13) |
a 550 |
13100 , m 17 ; |
4)a 517 13100 101 , m 11; 14) a 1314 1516 17 1, m 7 ;
5)a 104200 209200 , m 101; 15) a 29135 542 17 1 , m 11;
6)a 6760 8530 , m 13 ; 16) a 4748101 535 122 , m 11;
7)a 5100 55 100 , m 24 ; 17) a 34122 584 19 1 , m 7 ;
8) |
a 570 750 , m 12 ; |
|
18) |
a 1180 7100 , m 13 ; |
9) |
a 11353 153193 , m 61; |
19) |
a 277281 4289 , m 15 ; |
|
10) a 4729122 547 101 , |
m 17 ; |
20) a 428133 , m 17 . |
126
ЗАДАЧА 49. Докажите, что данное сравнение имеет решения, найдите число этих решений, а затем решите сравнение, используя простейшие свойства сравнений. Сделайте проверку.
1) |
а) 381x 3 |
(mod 71) ; |
б) 183x 93 |
(mod111) ; |
|||
2) |
а) 11x 15 (mod 24) ; |
б) 235x 280 |
(mod 465) ; |
||||
3) |
а) 53x 61 |
(mod 93) ; |
б) 45x 21 |
(mod132) ; |
|||
4) |
а) 83x 12 |
(mod101) ; |
б) 42x 105 |
|
(mod 245) ; |
||
5) |
а) 21x 10 |
(mod 25) ; |
б) 369x 549 |
(mod 846) ; |
|||
6) |
а) 11x 45 |
(mod 37) ; |
б) 65x 52 |
(mod169) ; |
|||
7) |
а) 73x 39 |
(mod 28) ; |
б) 84x 60 |
(mod132) ; |
|||
8) |
а) 39x 19 |
(mod 53) ; |
б) 381x 24 |
|
(mod159) ; |
||
9) |
а) 27x 16 |
(mod 58) ; |
б) 39x 84 |
(mod 93) ; |
|||
10) |
а) 39x 5 |
(mod11) ; |
б) 92x 20 |
(mod 284) ; |
|||
11) |
а) 131x 71 |
(mod164) ; |
б) 42x 105 |
|
(mod 245) ; |
||
12) |
а) 26x 19 |
|
(mod 31) ; |
б) 88x 324 |
|
(mod 404) ; |
|
13) |
а) 127x 80 |
(mod 274) ; |
б) 365x 50 |
|
(mod 395) ; |
||
14) |
а) 27x 11 |
|
(mod106) ; |
б) 114x 42 |
|
(mod 87) ; |
|
15) |
а) 139x 7 |
|
(mod 8) ; |
б) 186x 204 |
(mod 498) ; |
||
16) |
а) 19x 4 |
(mod 25) ; |
б) 246x 114 |
(mod 486) ; |
|||
17) |
а) 37x 16 |
|
(mod11) ; |
б) 35x 182 |
|
(mod 84) ; |
|
18) |
а) 14x 9 |
(mod 37) ; |
б) 185x 125 |
(mod 535) ; |
|||
19) |
а) 29x 35 |
|
(mod123) ; |
б) 342x 222 |
(mod 534) ; |
||
20) |
а) 8x 17 |
(mod 23) ; |
б) 115x 85 |
|
(mod 355) . |
127
ЗАДАЧА 50. Докажите, что данное сравнение имеет решения, найдите число этих решений, а затем решите сравнение, используя рекуррентную формулу. Сделайте проверку.
1) 4326x 117 (mod 465) ; |
11) 3114x 201 (mod 381) ; |
2)3808x 292 (mod 572) ; 12) 1798x 68 (mod1694) ;
3)2415x 114 (mod 543) ; 13) 3582x 182 (mod 848) ;
4) |
2739x 291 |
(mod 621) ; |
14) |
4636x 220 |
(mod 548) ; |
5) |
3768x 138 |
(mod1122) ; |
15) |
2616x 903 |
(mod 447) ; |
6) |
2436x 228 |
(mod 748) ; |
16) |
4305x 935 |
(mod 830) ; |
7) |
3402x 255 |
(mod 501) ; |
17) |
5286x 225 |
(mod 849) ; |
8) |
5460x 340 |
(mod 484) ; |
18) |
3918x 726 |
(mod1014) ; |
9) |
4077x 177 |
(mod 483) ; |
19) |
4674x 231 |
(mod 507) ; |
10) 4172x 344 |
(mod 676) ; |
20) |
4638x 378 |
(mod 882) . |
ЗАДАЧА 51. Решите систему сравнений:
|
x 1 (mod 4) |
|
x 31(mod 7) |
1) |
|
2) |
|
x 8 (mod 5) |
x 6 (mod 5) |
||
|
|
|
|
|
x 23(mod 7) |
|
x 2 (mod 9) |
|
x 11(mod 5) |
|
x 28(mod 13) |
4) |
|
5) |
|
x 16 (mod 7) |
x 1 (mod 3) |
||
|
|
|
|
|
x 3 (mod 11) |
|
x 13 (mod 5) |
|
x 5 (mod 3) |
|
x 23(mod 7) |
7) |
|
8) |
|
x 17 (mod 4) |
x 3 (mod 5) |
||
|
|
|
|
|
x 3 (mod 13) |
|
x 17 (mod 8) |
|
x 38(mod 5) |
|
x 19 (mod 4) |
|
|
|
|
10) x 17 (mod 4) |
11) x 26 (mod 5) |
||
|
|
|
|
|
x 2 (mod 11) |
|
x 2 (mod 7) |
x 1 (mod 3)
3)x 19 (mod 4)x 13(mod 11)
x 2 (mod 3)
6)x 18 (mod 5)x 25(mod 8)
x 3 (mod 17)
9)x 26 (mod 3)x 5 (mod 4)
x 8 (mod 7) 12) x 3 (mod 5)
x 29 (mod 9)
128
|
x 14 (mod 3) |
|
x 3 (mod 5) |
|
x 14 (mod 13) |
13) |
x 25(mod 4) |
14) |
x 37 (mod 7) |
15) |
x 35(mod 3) |
|
|
|
|
|
|
|
x 3 (mod 11) |
|
x 23(mod 11) |
|
x 3 (mod 5) |
|
x 29 (mod 3) |
|
x 1 (mod 3) |
|
x 10 (mod 7) |
16) |
x 11 (mod 5) |
17) |
x 39 (mod 4) |
18) |
x 42 (mod 5) |
|
|
|
|
|
|
|
x 3 (mod 8) |
|
x 15 (mod 13) |
|
x 9 (mod 8) |
|
x 36 (mod 17) |
x 12 (mod |
5) |
|
|
19) |
x 7 (mod 3) |
|
20) x 31(mod |
4) |
|
|
|
|
|
11) |
|
|
x 15 (mod 4) |
|
x 3 (mod |
|
ЗАДАЧА 52. Найдите число обратимых элементов и число де-
лителей нуля в кольце классов вычетов |
m при данном зна- |
||||
|
|||||
чении m . Выпишите все обратимые элементы этого кольца. |
|||||
1) |
m 819 ; |
2) |
m 392 ; |
3) |
m 378 ; |
4) |
m 882 ; |
5) |
m 684 ; |
6) |
m 936 ; |
7) |
m 702 ; |
8) |
m 712 ; |
9) |
m 351; |
10) |
m 528 ; |
11) |
m 891; |
12) |
m 816 ; |
13) |
m 540 ; |
14) |
m 756 ; |
15) |
m 840 ; |
16) |
m 624 ; |
17) |
m 594 ; |
18) |
m 918 ; |
19) |
m 612 ; |
20) |
m 608 . |
|
|
ЗАДАЧА 53. В кольце классов вычетов |
91 найдите сумму, |
произведение и обратные (если они существуют) для |
классов: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
271, 490 ; |
2) |
557 , 322 ; |
3) |
216 , |
442 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
336 , 496 ; |
|
|
5) |
247 , 439 ; |
6) |
409 , |
259 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7) |
|
245 , 478 ; |
8) |
343 , |
|
508 ; |
|
|
|
9) |
337 , 448 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
10) |
553 |
|
, 306 ; |
11) |
251 |
, 532 ; |
12) 481 , 344 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
13) |
352 |
|
, 507 ; |
14) |
658 |
, |
359 ; |
|
15) 551, 266 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
16) |
|
264 , 507 ; |
17) |
504 |
, |
|
346 ; |
8) |
207 , |
715 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
19) |
582 , |
441 ; |
|
20) |
|
|
416 , 328 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129
ЗАДАЧА 54. Для данной матрицы A над полем |
p |
найдите |
|
|
|
обратную матрицу A 1 . Сделайте проверку. |
|
|
1) |
|
3 |
9 |
|
|
|
|
|
A |
5 |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
11 |
|
|
|
|
||
3) |
A |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
5) |
5 |
7 |
, |
|
|
|||
A |
|
|
|
|
|
|||
|
14 |
2 |
|
|
|
|||
7) |
3 |
5 |
|
, |
|
|
||
A |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
11 |
|
|
|
|
|
|
15 |
1 |
|
|
|
|
||
9) |
A |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
11 |
3 |
|
|
|
|
|
11) |
A |
3 |
|
5 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
9 |
|
2 |
|
|
|
|
13) |
A |
5 |
|
2 |
, |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
6 |
11 |
|
|
|||
15) |
A |
14 |
5 |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
17) |
A |
2 |
|
3 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
11 |
5 |
|
|
|
||
19) |
A |
11 |
15 |
, |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
1 |
|
|
p 11; |
2) |
|
9 |
3 |
, |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
p 17 ; |
|
1 |
12 |
|
|
|
|||
4) |
A |
|
|
|
, |
|
|
||
|
|
|
3 |
17 |
|
|
|
||
p 19 ; |
6) |
|
7 |
2 |
, |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
p 13 ; |
8) |
4 |
9 |
, |
|
|
|||
A |
|
|
|
|
|
||||
|
|
13 |
7 |
|
|
|
|||
p 23 ; |
10) |
A |
5 |
14 |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
8 |
9 |
|
|
|
||
p 11; |
12) |
A |
2 |
9 |
, |
|
|
||
|
6 |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p 17 ; |
14) |
A |
3 |
|
1 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
17 |
12 |
|
|
|||
p 19 ; |
16) |
A |
4 |
7 |
|
|
|
||
|
5 |
2 |
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
p 13 ; |
18) |
A |
13 |
4 |
, |
|
|||
|
7 |
9 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
p 23 ; |
20) |
A |
8 |
5 |
, |
|
|||
|
9 |
14 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
p 13 ;
p 23 ;
p 11;
p 17 ;
p 19 ;
p 13 ;
p 23 ;
p 11;
p 17 ;
p 19 .
130