- •Математические обозначения. Таблицы
- •Латинский алфавит
- •1.2. Греческий алфавит
- •1. 3. Математические обозначения
- •Некоторые исторические факты математических символов
- •Важнейшие постоянные
- •1.8. Некоторые степени чисел 2, 3, 5
- •1.9. Факториалы
- •Перевод градусной меры в радианную
- •Арифметика
- •Признаки делимости
- •2.2. Средние величины
- •Действительные числа
- •Действия над дробями
- •Пропорции
- •3.4. Абсолютная величина действительного числа (модуль)
- •Формулы сокращенного умножения
- •Квадратные уравнения
- •Разложение на множители
- •Аргумент, функция
- •Элементы поведения функции
- •Возрастающие и убывающие функции (монотонные функции)
- •Четные и нечётные функции
- •Периодические функции
- •Корни функции
- •Чтение графиков функций
- •3.11. Обратная функция
- •Проблема существования обратной функции
- •3.13. Основные элементарные функции
- •3.14. Степени и корни
- •3.16. Целая рациональная функция (или многочлен)
- •3.17. Квадратичная функция
- •3.18. Рациональная функция
- •3.19. Дробно-линейная функция
- •3.20. Показательная функция
- •3.21. Логарифмы. Логарифмическая функция
- •3.22. Гиперболические функции
- •Определения
- •Основные соотношения
- •3.22.3. Графики гиперболических функций
- •3.24. Соединения (размещения, перестановки, сочетания)
- •Бином ньютона
- •3.26. Комплексные числа
- •3.26.1. Комплексные числа в алгебраической форме
- •3.26.2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
- •3.26.3. Показательная форма комплексного числа
- •3.27. Элементарные приёмы построения
- •3.27.1. Преобразования графиков
- •3.27.2. Сложение графиков
- •3.28. Графики некоторых функций, содержащие
- •3.29. Прогрессии
- •Арифметическая прогрессия
3.11. Обратная функция
|
На рисунке изображен график функции , промежуток - область определения функции, - область изменения функции. Для каждого значения аргумента из области найдётся единственное значение функции , ринадлежащее области . |
Поменяем ролями переменные х и у, т.е. за аргумент (т.е. независимую переменную) возьмём у, тогда зависимой переменной (т.е. функцией) будет х. На чертеже аргументу соответствует значение функции . Такая зависимость называется обратной и её уравнением будет также , но функция х задана здесь в неявной форме. Если из этого равенства выразить х, то получим обратную зависимость в явной форме: . Областью определения этой функции будет промежуток , а областью изменения функции будет . Графиком функции будет та же самая кривая, но смотреть на него надо по особенному: осью аргумента является вертикальная ось, а осью значений функции – горизонтальная. Чтобы исключить это неудобство, т.е. как обычно ось аргумента расположить горизонтально (слева направо), а ось значений функции вертикально (снизу вверх), надо поменять ролями буквы х и у, т.е. записать обратную зависимость в виде .Функции и различаются только обозначениями переменных. Поэтому, чтобы из графика (или, что то же, функции ) получить график функции , достаточно поменять ролями оси Ох и Оу, т.е. повернуть плоскость чертежа вокруг биссектрисы первого координатного угла на 180° ; другими словами, . для получения графика обратной функции в привычной системе координат надо график прямой функции отразить симметрично относительно прямой у = х. |
Пример. Для функции найти обратную. Построить графики прямой и обратной функций.
Решение.
|
Проблема существования обратной функции
Всегда ли для функции существует обратная? Не всегда! На этот счёт существует теорема:
Если функция в некоторой области монотонна (или возрастает или убывает), то для неё в этой области существует обратная.
Пример.
0
|
На рисунке изображен график функции . На интервале эта функция не является монотонной. Следовательно, для неё не существует обратной функции: для одного значения у существует два ( а не одно !) значение х. |
||
Если же функцию рассмотреть на промежутке , то функция будет монотонной и для неё существует обратная: . На промежутке функция также монотонная, для неё существует обратная : (см. рис.).
|