- •Матрицы и определители.
- •Матрицы и операции над ними.
- •1.2. Определители квадратных матриц. Обратная матрица
- •1.3 Ранг матрицы. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы.
- •1.4 Задачи с экономическим содержанием
- •2.2 Система m линейных уравнений с n переменными
- •2.3 Метод Жордана—Гаусса
- •2.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •3.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •3.3. Линейные операторы
- •3.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)
- •3.5 Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •4.Уравнение линии. Прямая и плоскость
- •4.2. Кривые второго порядка
- •5.Введение в анализ
- •6. Пределы и непрерывность
- •Глава 7 Производная
- •7.1. Определение производной
- •7.2. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций
- •1. Дифференцирование явных функций
- •4. Производные высших порядков
- •7.3. Геометрические и механические приложения производной
- •7.4. Предельный анализ экономических процессов
- •8. Основные теоремы дифференциального исследования.
- •1. Теорема Ролля.
- •9 Дифференциал функции.
- •10. Неопределенный интеграл.
5.Введение в анализ
Функция
1. Если каждому элементу (значению) х множества X поставить в соответствие определенный элемент (значение) у множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция у = f(х); при этом множество X называется областью определения функции у, а множество Y— областью значений функции y.
2. Функцияy =f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения функции f(-х) =f(х), и нечетной, если/(-х) = = -f(x). В противном случаеf(х) — функция общего вида.
3. Функция у =f(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке X, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции f(х). Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.
4. Функция f(х) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое число М > О, что |f(х)| < М, для всех х Є X. В противном случае функция называется неограниченной.
5. Если функция у = f(u) есть функция переменной и (определенной на множестве U с областью значений Y), а переменная и, в свою очередь, также является функцией и = φ(х) (определенной на множестве X с областью значений U), то заданная на множестве X функция у =f[φ(х)] называется сложной функцией.
6. Основные элементарные функции:
а) степенная функция у = хn;
б) показательная функция у = ах, а > 0, а ≠ 1
(Х = (-∞;+∞); Y = (0;+∞));
в) логарифмическая функция у = log ax, а > 0, а ≠ 1
(Х = (0;+∞); Y = (-∞;+∞));
г) тригонометрические функции у=sin х, у = cos х, y= tg х, у = ctg x д) обратные тригонометрические функции у = arcsin x,y = arccos x,arctg x,arcctg x.
7. Функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.
S. Функция у = f(x) называется периодической с периодом Т ≠ 0,
eсли f(x+Т) =f(x) для любых х е X.
9. Преобразования графиков:
a) y=f(x+a)- сдвигает график у =f(x) параллельно оси Ох на a единиц, (а > 0 — влево, а < 0 — вправо);
б) у f(x) + b - сдвигает график у = fix) параллельно оси Оу на b единиц (b>0 — вверх, b < 0 — вниз);
в)у = cf(x) (с ≠ 0) - растягивает в с раз (с > 1) или сжимает (0 < с < 1) графику =f(x) относительно оси Оу; при с < 0 симметрично отображает график относительно оси Ох;
г) у =f(kx) (k≠0) — растягивает в k раз (k > 1) или сжимает (0 <k < 1) график у =f(x) относительно оси Ох; при k < 0 симметрично отображает график относительно оси Оу. 10. Абсолютная величина (модуль) действительного числа х:
x,если х≥0 |x|= х,если х<0.
6. Пределы и непрерывность
1. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число аn то говорят, что задана числовая последовательность (аn).
2. Число А называется пределом числовой последовательности (аn )
если для любого ξ> 0 найдется такой номер N, зависящий от ξ, что для всех членов последовательности с номерами n > N верно неравенство
│an-A│<ξ(lim an=A
3. Число А называется пределом функции y=f(x) при х —> ∞ , если для любого ξ > 0 найдется также число S > О, зависящее от ξ, что для всех х таких, что |х| > S, будет верно неравенство │f(x)-A│<ξ (lim f(x)=A)
4. Функция а(х) называется бесконечно малой величиной при х —> х0 (или х —> ∞ ), если lim а(х) = 0
6. Функция Fх) называется бесконечно большой величиной при х —> х0, если для любого М > 0 найдется такое число δ > 0, зависяoщее от М, что для всех х #хо и удовлетворяющих условию |х - хо| < δ будет верно неравенство
│f(x)│>M(lim F(x)=∞.
Первый замечательный предел.
Lim sin x/x =1
u→0
Второй замечательный предел
Lim (1+1/x)x=e
x→∞
lim (1+y)1/y=e.
y→0
Раскрытие неопределенностей различных типов
Далеко не всякая подстановка предельного значения в функцию вместо независимой переменной может сразу привести к нахождению предела. Случаи, в которых подстановка предельного значения в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями; к ним относятся неопределенности видов
Устранить неопределенность удается часто с помощью алгебраических преобразований.