1.3 Ранг матрицы. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы.

1. Рангом матрицы А (rang A или r(A) ) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

2. Свойства ранга матрицы:

А) если матрица А имеет размеры m*n,то rang A < min (m; n);

B) rang A =0 тогда и только тогда,когда все элементы матрицы А равны 0;

С) если матрица А-квадратная порядка n,то rang A=n,тогда и только тогда, когда А=0

3. Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:

А) отбрасывание нулевой строки (столбца)

В) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю

С) изменение порядка строк (столбцов) матрицы

D)прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число

Е) транспонирование матрицы.

4. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:

а₁₁ а₁₂ … а_1r … а_1k

0 а₂₂ … а_2r … a_2k

А= . . . . . .

0 0 … a_rr … a_rk

где а_ij=0,i=1,…,r; r<k.

5. Строки (столбцы) матрицы е₁,е₂,…,е_m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ₁,λ₂,….,λ_m, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: λ₁е₁+λ₂е₂+…+λ_me_m=0,где 0=(0,0,..,0).В противном случае строки называются линейно зависимыми.

6. Теорема о ранге матрицы:

Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов.

1.4 Задачи с экономическим содержанием

Понятие матрицы используется в практической деятельности. Например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом квартале года или нормы затрат нескольких видов ресурсов на производство продукции нескольких типов удобно записать в виде матриц.

Системы линейных уравнений

Общий вид системы m линейных уравнений с n переменными:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1jx_j+…+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2jx_j+…+a_2nx_n=b₂

………………………………………..

a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_ijx_j+…+a_inx_n=b_i

……………………………………......

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mjx_j+…+a_mnx_n=b_m

2. В матричной форме система имеет вид:

АХ=В,

где

a₁₁ a₁₂ … a_1n x₁ b₁

A= a₂₁ a₂₂ … a_2n , X= x₂ , B= b₂

… … … … … …

a_m1 a_m2 … a_mn x_n b_m

Здесь А – матрица системы; Х- матрица-столбец переменных;В-матрица-столбец свободных членов.

3. Если определитель матрицы системы n линейных уравнений с n переменными ∆= A=0 (т.е. матрица А-невырожденная), то единственное решение системы определяется:

А) методом обратной матрицы по формуле:

Х=А^-1В

В) по формулам Крамера: х1=∆j/∆,

где ∆ј-определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой ј-ого столбца столбцом свободных членов В.

4. Методом Гаусса можно решить любую систему уравнений.Для этого составляют расширенную матрицу коэффициентов (А|В), приписывая к матрице А столбец свободных членов В, затем матрицу (А‌‌‌‌‌|В) с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатому виду; далее по полученной матрице выписывают новую систему и решают её методом исключения переменных:начиная с последних переменных находят все остальные (так называемый «обратный ход»).