§8.2 Минимизация издержек при фиксированном объеме выпуска

Решение в общем виде задачи минимизации издержек при фиксированном объеме выпуска

Теоремы о маргинальных значениях (издержки при вариации объема выпуска или цены за ресурс)

Работа предприятия с фиксированным объемом выпуска продукции описывается производственной функцией . Закупая ресурсы по ценам , предприятие несет издержки на сумму ден. единиц. Задача минимизации издержек при фиксированном объеме сводится к решению задачи на условный экстремум при выполнении требований: - дважды непрерывно дифференцируемая функция,

Воспользуемся методом Лагранжа. Для функции Лагранжа

укажем необходимые условия экстремума

Перенеся вторые слагаемые направо и разделив одно равенство на другое, найдем

.

Выразим из уравнения переменную и подставим в уравнение связи

.

Найдем в критической точке значение переменной .

Аналогично получим .

Перейдем к достаточным условиям экстремума

Составим окаймленный гессиан

Условие есть условие минимума функции Лагранжа. Раскрыв определитель, получим неравенство

Рассматривая левую часть неравенства как квадратичную форму относительно переменных , выделим матрицу квадратичной формы

Квадратичная форма является отрицательно определенной, если угловые миноры ее матрицы чередуют знаки, начиная с отрицательного

Эти неравенства с учетом следствия из них запишем в виде системы

задают достаточные условия существования локального минимума функции Лагранжа и условного минимума издержек.

Теоремы о маргинальных значениях

(издержки при вариации объема выпуска или цены за ресурс)

Подставим в функцию издержек и в уравнение связи

Второе уравнение связывает две функции и три аргумента Из этой системы получим некоторые важные утверждения, предварительно убрав для удобства верхние индексы.

1. Продифференцируем оба равенства системы по и воспользуемся необходимыми условиями и :

Получено равенство , означающее, что предельные издержки по объему равны множителю Лагранжа .

Перейдем в 1-м уравнении к приращениям

.

В случае оптимизации издержек их рост пропорционален росту выпуска продукции с коэффициентом пропорциональности .

Следствие. Найдем коэффициент λ из необходимых условий и приравняем полученному значению предельных издержек по объему. После преобразований получим

Произведение предельной полезности ресурса на предельные издержки по объему равно цене за ресурс и не зависит от вида ресурса.

2. Вернувшись к системе, продифференцируем оба равенства по .

Вывод из полученных равенств: . Значит, предельные издержки по цене за ресурс равны величине условного спроса на этот ресурс. Зависимость от аналогична:

В приращениях: . Увеличение издержек пропорционально увеличению цены на ресурс и зависит от величины потребляемого ресурса.

§8.3 Оптимизация потребительского поведения

Спрос на товары при максимизации целевой функции.

Изменение спроса при вариации дохода потребителя

Спрос на товары при максимизации целевой функции

Рассмотрим задачу зависимости спроса на товары от дохода и цен при максимизации объема личного потребления. Пусть -целевая функция потребления, характеризу­ющая предпочтения потребителя, - вектор объемов потребления благ , - количество рассматриваемых благ. Покупая для личного потребления товары по ценам , покупатель ограничен размером своего дохода . Ставится задача оптимизации потребительского поведения с бюджетным ограничением

Решением задачи потребительского выбора является функция спроса – вектор , каждая координата которого зависит от вектора цен и дохода . Получение функции спроса требует знания структуры функции потребления, поэтому задача может быть решена только для частных случаев, один из которых мы рассмотрим ниже.

Решается задача на условный экстремум целевой функции Кобба –Дугласа двух переменных

Будем предполагать, что целевая функция дважды непрерывно дифференцируема,

Составим функцию Лагранжа:

и запишем систему уравнений из первых производных и уравнения связи

Перенеся вторые слагаемые направо и разделив первое уравнение на второе, придем к системе

решением которой являются

, .

В стационарной точке функция Кобба–Дугласа , как доказывалось ранее, максимальна. Векторная функция спроса имеет вид

.

Следовательно, количество приобретаемого товара прямо пропорционально доходу и обратно пропорционально цене товара.

Изменение спроса на товары при вариации дохода потребителя

Пусть в задаче оптимизации потребительского поведения с бюджетным ограничением

выполнены условия: -дважды непрерывно дифференцируемая функция,

Для функции Лагранжа

.

напишем необходимые условия

из которых, а также бюджетного ограничения следует система

Полагая, что аргументом в системе является переменная , а – параметры системы, перейдем к дифференциалам

Раскрыв скобки и перераспределив слагаемые, запишем равенства как линейную систему с двумя переменными

По теореме Крамера

Использование правила Крамера оправдано, поскольку знаменатель дроби есть окаймленный гессиан который в точке максимума больше нуля.

Окончательно,

.

Аналогичные преобразования для приведут к формуле

.

Интерпретация изменений спроса на товары при бюджетной надбавке требует конкретизации целевой функции. Вернемся к функции Кобба-Дугласа с соответствующими достаточно общими ограничениями.

Тогда

Умножим числитель и знаменатель на и воспользуемся равенством α+β=1

Соответственно,

Увеличение спроса на товары пропорционально увеличению дохода потребителя и зависит от количества товара потребления.

Результат согласуется с решением задачи потребительского выбора по нахождению функции спроса. Действительно, из двух последних соотношений следует , где . После интегрирования получим откуда Коэффициент с, как было найдено, равен или .

Следствие. В §8.1 мы получили выражение для предельного предложения по лимиту, которое в новых переменных имеет вид: . Из необходимых условий в задаче оптимизации потребительского поведения с бюджетным ограничением найдем λ: . Приравняв выражения, получим

.

Отношение предельной полезности ресурса к цене за ресурс равно предельной полезности денег и не зависит от вида ресурса.