§7.5. Экстремум в системах функций

Изучение экстремумов математических объектов, задаваемых несколькими функциями, является более сложной задачей. В общем случае задачу можно сформулировать так: найти экстремум функции , заданной системой функций

(13)

К такой системе сводится задача на условный максимум производственной функции при бюджетном ограничении , в котором денежные средства , отпущенные на закупку ресурсов, уже не являются постоянной величиной , а зависят от величины выпуска и «подпитываются» долей дохода: . Чем лучше работает предприятие, тем большие средства оно может отпустить на закупку сырья, энергообеспечение, аренду и т.д. Задача на условный экстремум с переменным бюджетным ограничением формулируется так

Н а рис.7.18 изображен график функции Кобба-Дугласа. Рассмотрены три варианта уравнения связи. При условный экстремум находится в точке . Если , условный максимум перемещается в точку . Наконец, при условный максимум оказывается в точке .

Если величина возникает положи­тельная обратная связь, если - отрицательная. Простым преобразованием второго уравнения задача с обратной связью сводится к исследованию на экстремум в системе функций

Поиск решения начнем с нахождения множества таких точек на координатной плоскости Oxy, в которых значения функций системы равны

.

Решение этого уравнения подставим в одну из функций и исследуем на экстремум функцию . Критическая точка для функции задает стационарную точку на плоскости Oxy, в которой возможен экстремум .

Поскольку и , найдем производную по , которая в критической точке будет равна нулю:

и

Отсюда при условии и получим

(14)

_{Найденное выражение представляет необходимые условия в задаче на условный экстремум с обратной связью.}

Метод Лагранжа при исследовании на условный экстремум в системах функций

Поскольку каждое уравнение системы при исследовании на экстремум можно привести к виду и , то в критической точке должен быть равен нулю дифференциал каждой функции

Умножим первое и второе равенства на и соответственно, причем , не равны нулю одновременно

Слева в равенстве стоит дифференциал функции, которую назовем функцией Лагранжа и обозначим через

Сама функция имеет вид

Исследуя функцию на локальный экстремум, подберем один из множителей , так, чтобы в некоторой точке было выполнено равенство

Поскольку дифференциал функции равен нулю, то также, причем .

Таким образом, система

выражает необходимые условия локального экстремума функции . Система содержит две переменные величины и два параметра и . Для нахождения 4-х неизвестных добавим уравнение связи и одно из равенств или .

Итак, условия первого порядка при нахождении локального экстремума функции Лагранжа и условного экстремума с обратной связью функции сформулированы:

Последнее условие можно заменить на равенство + , поскольку

Из первых двух уравнений системы найдем , считая и

,

что совпадает с равенством (14).

Перейдем к достаточным условиям условного экстремума с обратной связью. Возьмем дифференциал от обеих частей в уравнении связи

,

откуда, считая, что , найдем

Подставим выражение во второй дифференциал функции Лагранжа

.

Преобразуя, получим

.

Второй сомножитель в скобках переписываем как окаймленный гессиан

.

Его знак к критической точке указывает на локальный минимум или максимум функции , а, следовательно, на условный минимум или максимум функции :

если то

если то

ПРИМЕР 1. Найти экстремум в системе функций

Решение. Функция Лагранжа задачи на условный экстремум с обратной связью имеет вид

.

Найдем необходимые условия

Разделив 1-е уравнение на 2-е, получим Подставим в 3-е уравнение, будем иметь

. Для функции Кобба-Дугласа в стационарной точке существует максимум. Его величина На рис. 7.18 представлены условные максимумы для трех значений . При при отсутствии обратной связи получим стандартный условный экстремум , точка В случае положительной обратной связи с коэффициентом имеем , точка При отрицательной обратной связи с коэффициентом максимум соответствует точке

Если исследуемая функция не является дифференцируемой, метод Лагранжа не применим.

ПРИМЕР 2. Исследовать на экстремум функцию , заданную системой уравнений

Решение. Область значений функции . Найдем корни уравнения

,

для чего возведем его в квадрат

.

П осле сокращения уравнение примет вид . Следовательно, или . При получим . Очевидно, минималь­ное значение равно при и . Другой случай приводит к тому же результату. Отметим, что пред­ставляет глобаль­ный минимум функции . На рис. 7.17 изображены графики функций и , Пересе­каю­щиеся по плоскостям и . Линии пересечения поверхностей указаны красным цветом.

Некоторые из функций системы могут быть заданы в неявном или параметрическом виде.

П РИМЕР 3. Исследовать на экстремум функцию , заданную системой уравнений

Решение. Подставим в первое уравнение:

.

Представим уравнение как квадратное относительно :

.

Его решение

подставим во второе уравнение системы. Получим

.

Исследуем функцию на экстремум с помощью производной.

.

Уравнение

при имеет решение . При решение . Исследование знаков производной показывает, что в точке достигается максимум , в точке - минимум .

Окончательно, получаем , .

Графики обеих функций представлены на рис. 7.20. Стрелками указаны минимум и максимум функции , причем минимум наблюдается, а максимум скрыт под поверхностью сферы. Для улучшения обзора из сферы удалена часть поверхности.