§7.3. Экстремум неявной функции
Пусть функция определяется уравнением . Потребуем, чтобы функция была дважды непрерывно дифференцируема и .
Первый дифференциал в стационарной точке равен нулю:
,
что может иметь место в силу независимости дифференциалов и только при
(10)
Уравнения (10) выражают необходимые условия существования экстремума, определяя точку возможного экстремума. Для нахождения достаточных условий найдем второй дифференциал в стационарной точке .
. (11)
Найдем отдельно каждое из слагаемых в правой части равенства (11):
.
В стационарной точке , поэтому равенство значительно упростится
.
Аналогично можно доказать, что
.
Подставим полученные равенства в (11) и преобразуем квадратичную форму, используя :
. (12)
Матрица Гессе для квадратичной формы (12) примет вид
.
Применяя критерий Сильвестра к найденной матрице, исследуем знакоопределенность квадратичной формы и сделаем вывод о существовании экстремума неявной функции.
ПРИМЕР. Найти локальный экстремум неявной функции
в области , считая .
Решение. Найдем частные производные функции по всем переменным:
Чтобы определить стационарные точки, решим систему уравнений
Выразим переменную из первого уравнения и подставим во второе
Получим критические точки с координатами и с координатами . Подстановка этих значений аргументов в уравнение с учетом даст значения и . Итак, имеем и .
Найдем вторые частные производные: , , и составим матрицу Гессе квадратичной формы для неявной функции:
.
О бращаем внимание, что из матрицы можно вынести множитель 3, но нельзя вынести множитель , так как нужна информация о знаке первого углового минора . Рассмотрим вначале точку .
1. . Здесь , . В этой точке достигается локальный максимум, равный .
2. . Здесь . Поэтому обратимся ко второму дифференциалу.
.
Очевидно, не является знакоопределенной квадратичной формой. Поэтому в данной точке экстремума нет. На рис. 7.16 приведен фрагмент поверхности заданной неявной функции. Стрелками указаны точки и .
§7.4. Глобальный экстремум
Глобальным экстремумом называется наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области . Пусть функция непрерывна в этой области. Тогда найдется точка , в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если точка лежит внутри области , она является стационарной, и в ней может достигаться локальный максимум или минимум. Наибольшее или наименьшее значение функция может принимать также на границе области. Следовательно, задачу исследования функции на глобальный (global) экстремум в области можно сформулировать так:
Решение задачи разбивается на две части:
1) исследование функции на локальный (local) экстремум в области :
2) исследование функции на условный (conditional) экстремум на границе области :
Наибольшее (наименьшее) из всех этих чисел и будет искомым наибольшим (наименьшим) значением функции в области .
ПРИМЕР. Исследовать на глобальный экстремум функцию в области , , .
Решение. Для решения задачи
надо рассмотреть несколько случаев:
1 )
Находим стационарные точки . Единственная стационарная точка не входит в рассматриваемую область.
2)
Подставим выражение в исследуемую функцию. Получаем . Во всех точках окружности функция принимает одно и тоже постоянное значение .
3)
В силу симметрии задачи из двух случаев достаточно рассмотреть один, например, . Подставим в функцию : . Это парабола с ветвями, направленными вниз. Критическая точка , в которой функция принимает значение, равное . На концах отрезка функция равна .
4)
Система рассматривается аналогично случаю 3. Собираем все полученные значения функции :
Выбираем наибольшее и наименьшее значение из всех этих чисел:
.
График функции в области приведен на рис. 7.17.
Замечание. При исследовании функции на глобальный экстремум можно ограничиться отысканием значения функции в критических точках. Достаточные условия обычно не используют.
В математическом анализе существует класс так называемых выпуклых функций, примерами которых могут служить функции, представленные на рис. 7.6 - 7.8. Они широко применятся в экономике и в дальнейшем будут нами изучаться. Выпуклая функция не имеет седловых точек. Поэтому равенство ее частных производных нулю является не только необходимым, но и достаточным условием локального экстремума. Локальный экстремум выпуклой функции является также и глобальным, т.е. наибольшим значением функции в случае, когда функция выпукла вверх, и наименьшим, когда она выпукла вниз.