§ 4.2. Линейные подпространства

Линейные подпространства Способы задания линейных подпространств Операции с линейными подпространствами

Линейные подпространства

Из множества векторов линейного пространства выберем некоторую совокупность векторов и обозначим ее . Пусть для любых векторов и из и любого числа выполняются следующие условия:

1)

2) .

Тогда множество векторов называется линейным подпространством пространства .

Примеры линейных подпространств:

1. Каждое линейное пространство обладает двумя подпространствами: нулевым подпространством и самим пространством. Эти подпространства называют триви­аль­ными.

2. Линейное пространство векторов на прямой, проходящей через начало координат, имеет два триви­альных подпространства.

3. Линейное пространство векторов на плоскости (рис. 4.2) имеет кроме двух тривиальных под­про­ст­ранств бесконечное множество подпространств . Каждое из них состоит из векторов, которые лежат на прямой, проходящей через начало координат (предполагается, что все векторы отложены от начала координат).

4. В геометрическом пространстве векторов пространства каждая прямая и каждая плоскость, проходящие через начало координат, определяют линейное подпространство.

Способы задания линейных подпространств

Линейное векторное подпространство задается двумя возможными способами: набором векторов или системами линейных уравнений.

1-й способ. Набор линейно независимых векторов (базис подпространства) тесно связан с понятием линейной оболочки системы векторов.

О пределение. Линейной оболочкой двух векторов и , принадлежащих линейному пространству , называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов

, где .

Иначе говоря, линейная оболочка состоит из бесконечного множества векторов , предста­вимых в виде линейных комбинаций векторов и . На рис. 4.3 построены векторы и , а также приведено несколько их линейных комби­наций .

В общем случае линейной оболочкой множества векторов, принадлежащих линей­ному пространству , называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов

Свойства линейной оболочки

1. Линейная оболочка содержит само множество векторов.

2. Если линейное пространство содержит множество векторов, то:

а) пространство содержит и его линейную оболочку ;

б) - линейное подпространство пространства .

Замечание. Из определения и свойств линейной оболочки следует, что каждое векторное пространство есть линейная оболочка векторов своего базиса. Поэтому часто в задачах в целях экономии места мы, разыскивая базис подпространства, будем ограничиваться перечислением векторов базиса, не записывая конечным результатом их произвольную линейную комбинацию.

2-й способ. Существует еще один способ задания подпространства – в виде однородной системы линейных уравнений. Рассмотрим однородную линейную систему уравнений с переменными

имеющую ненулевые решения. Пусть ранг системы равен . Она обладает фундаментальным набором решений (ФНР) (см. гл.2, §2,5 «Однородные системы уравнений»).

,

которые линейно независимы. Эти независимые решения, являющиеся совокупностями из чисел, можно представить как - мерные линейно независимые векторы. Любое решение сис­те­мы представляется в виде линейной комбинации ФНР. Если взять векторы в ка­чес­тве базиса некоторого линейного векторного подпространства, то все множество решений одно­родной системы и будет этим векторным подпространством, называемым пространством решений однородной системы. Размерность подпространства равна числу независимых векторов, т.е. .

Таким образом, векторное подпространство может быть задано как набором векторов, составляющих базис векторного подпространства, так и посредством задания однородной системы линейных уравнений, фундаментальный набор решений которой есть базис линейного векторного подпространства. Переход от задания подпространства в виде набора векторов к заданию в виде однородной системы уравнений и обратно достаточно прост.

ПРИМЕР 1. Линейное подпространство задано набором линейно независимых векторов , . Найти однородную систему линейных уравнений, задающую подпространство .

Решение. Рассмотрим 2 способа решения задачи. Введем произвольный вектор , принадлежащий подпространству . Разложим вектор по векторам базиса

или в координатном виде (4)

1 способ. Использование формы, в которой записывается решение системы однородных уравнений и представление в этой форме векторов базиса как фундаментальных решений некоторой системы. Запишем равенство (4) в виде решения системы уравнений

.

Тогда система имеет вид

Окончательно, (5)

Замечание. Переход к системе уравнений требует наличия в каждом из векторов нулевой координаты. Если ее нет, комбинируя векторы , такие координаты легко получить.

2 способ основан на использовании теоремы Кронекера-Капелли. Составим расширенную матрицу из коэффициентов и свободных членов и преобразуем, используя метод Гаусса

~ ~ (6)

Система должна иметь решения, поскольку вектор принадлежит подпространству. Ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы системы по теореме Кронекера-Капелли должны быть равны. Это выполняется при соблюдении условий: (7)

Полученная система однородных линейных уравнений задает требуемое линейное подпространство. Системы (5) и (7) несколько отличаются друг от друга. От системы (7) можно перейти к системе (5), взяв разность 1-го и 2-го уравнений в системе (7).

Замечание. Продолжив преобразование матрицы (6) по методу Гаусса-Жордана, получим координаты и вектора в базисе линейного подпространства .

,

т.е. .

ПРИМЕР 2. Линейное подпространство задано однородной системой линейных уравнений

Найти набор линейно независимых векторов (базис), задающий линейное подпространство .

Решение. Найдем фундаментальный набор решений однородной системы. Ранг матрицы коэффициентов уравнений равен 2. Поэтому могут быть найдены две переменные, выраженные через две другие. Положим базисными переменными . Свободными переменными станут . Вычтем из первого уравнения второе. Будем иметь

Запишем решения в развернутой матричной форме

.

Обозначив свободные переменные, стоящие в правой части равенства: , получим

,

где .

Любой вектор , координаты которого являются переменными в однородной системе уравнений, представлен как линейная комбинация двух линейно независимых векторов, составляющих ФНР однородной системы. Следовательно, все множество векторов составляет линейное векторное подпространство с базисом . Итак, базис линейного подпространства : , .

ПРИМЕР. Найти линейную оболочку множества решений системы уравнений

Решение. Ранг матрицы коэффициентов системы уравнений равен 2. Выберем свободными переменными и . Тогда общее решение однородной системы уравнений имеет вид

, где .

Векторы и образуют фундаментальный набор решений однородной системы. Любое решение системы является их линейной комбинацией. Значит, линейная оболочка векторов и и есть множество решений однородной системы уравнений, т.е. , где .

Кратко оформим идеи перехода между способами задания линейного подпространства в виде таблицы

Подпространство задано своим базисом :		Подпространство задано системой уравнений :

Операции с линейными под­пространствами

1 ) Сумма подпространств. Суммой линейных подпространств и линейного пространства называется совокупность всех векторов , которые можно представить в виде (разложить)

, где , .

2) Пересечение подпространств. Пересечением линейных подпространств и линейного про­странства называется совокупность всех векторов , которые принадлежат одновременно подпространствам и . На рис. 4.4 пересечению под­пространств и геометричес­кого пространства принадлежат векторы и .

3) Умножение числа на подпространство. Умножение числа на линейное векторное подпространство не изменяет его, т.е. .

4) Сумма подпространства и вектора. Алгебраическая сумма векторного подпространства и отдельного вектора , принадлежащего подпространству , не изменяет последнего

, если .

Алгебраическая сумма векторного подпространства и отдельного вектора , не принадлежащего подпространству , порождает множество векторов, которое не является векторным подпространством

.

С множеством векторов, называемым линейным многообразием, мы познакомимся позже.

Свойства суммы и пересечения линейных подпространств

1) Сумма и пересечение линейных подпространств являются линейными подпространствами.

2)Суммой двух подпространств и является подпространство , т.е. .

3) Размерность суммы линейных подпространств равна сумме размерностей подпространств минус размерность их пересечения (формула Грассмана)

.

Пусть линейные подпространства задаются своими базисами или в виде систем линейных уравнений. Тогда без труда решается задача нахождения базиса или системы уравнений, задающих сумму подпространств или их пересечение. Идеи решений таких задач оформим в виде таблицы.

	Задание подпространств и
	1 своими базисами : ; : .	2 системами линейных уравнений : ; : .
	Идеи решения
	3 Находится ранг системы векторов , определяются все линейно независимые векторы, которые составляют базис суммы.	4 Находится объединение систем: .
	5 Используется равенство линейных комбинаций .	6 Находится пересечение систем .

ПРИМЕР. Линейные подпространства и трехмерного векторного пространства заданы своими базисами векторов

: ; : .

Найти

1. системы линейных уравнений, задающие эти подпространства (переход );

2. базис (переход );

3. систему уравнений, задающую (переход или );

4. базис (переход или );

5. систему уравнений, задающую (переход или ).

Решение. 1) переход нами был разобран в предыдущем примере. Ответ: : ; : .

2) Составим матрицу из координат векторов и приведем ее к треугольному виду

~ .

Очевидно, ранг равен 3. Проводя элементарные преобразования, мы не меняли положение строк. Первые 3 вектора, написанные в координатах по строкам матрицы, являются линейно независимыми и могут составить базис суммы подпространств. Итак, векторы , задают подпространство . Размерности пространств и совпадают. Следовательно, векторы образуют базис всего пространства .

3) Сумма подпространств имеет размерность векторного пространства и системой уравнений описана быть не может. Для обоснования утверждения рассмотрим произвольный вектор , принадлежащий пространству . Вектор раскладывается по базису единственным образом. .

Составим расширенную матрицу и воспользуемся преобразованием Гаусса-Жордана

.

Получим выражение

представляющее собой связь координат произвольного вектора в новом и в старом базисах. Таким образом, задача о нахождении системы линейных уравнений, описывающей векторное подпространство вырождается в задачу нахождения связи координат произвольного вектора в старом и новом базисах.

4) Базис пересечения подпространств . Любой вектор , принадлежащий подпространствам и , может быть разложен по базисам этих подпространств.

(8)

Решение системы уравнений по методу Гаусса-Жордана

~

дает следующие значения переменных .

Вернемся к системе (8)

При получим или . Следовательно, вектор является общим для подпространств и и может быть положен базисом их пересечения. Ответ: базис пересечения имеет вид .

5) Найдем систему уравнений, задающую пересечение подпространств. Ее вид . Легко видеть, что фундаментальное решение системы совпадает с вектором базиса пересечения подпространств.

Пусть пересечение двух подпространств и является нулевым подпространством . Тогда сумма называется прямой суммой и обозначается через . Если подпространство совпадает со всем пространством , т.е , то подпрост­ранства и называются дополнениями друг к другу в пространстве .

Свойства прямой суммы подпространств.

1. Прямая сумма подпространств есть подпространство.

2. Пересечение подпространств является нулевым подпространством.

3. Сумма базисов линейных подпространств линейно независима.

4. Сумма базисов линейных подпространств образует базис прямой суммы.

5. Размерность суммы подпространств равна размерности прямой суммы.

6. Любой вектор, принадлежащий прямой сумме, может быть разложен, причем единственным образом, по составляющим сумму подпространствам.

7. Совокупность любых двух векторов, взятых по одному от каждого подпространства, линейно независима.

8. Для любого подпространства существует дополнение.

9. Если подпространство не является нулевым, то дополнительное подпространство определено неоднозначно.

Пусть задано подпространство . Любой вектор , принадлежащий подпрост­ранству , в соответствии со свойством 6 может быть разложен на сумму векторов , где и . Вектор называется проекцией вектора на подпространство параллельно подпространству , вектор называется проекцией вектора на подпространство параллельно подпространству .

ПРИМЕР. В векторном пространстве заданы подпространства и . Найти проекцию вектора на подпространство параллельно подпространству .

Решение. Подпространства и составляют прямую сумму, поскольку их пересечение, как легко определить, является нулевым подпространством. Подпространства и дополняют друг друга до всего векторного пространства , так как размерность суммы подпространств равна размерности всего пространства. Разложим вектор по суммарному базису

и перейдем к уравнению в координатах

.

Решив уравнение, например, методом Гаусса, получим

Вектор ,

разложенный по базису подпространства , есть проекция вектора на подпространство параллельно подпространству .

Замечание 1. Для линейных векторных пространств и подпространств мы не ввели расстояния и углы. Это будет сделано при дальнейшем изложении. Рисунки, содержащие декартову систему координат, носят условный характер.

Замечание 2. Векторные пространства и подпространства содержат нулевой вектор. Наглядная геометрическая иллюстрация этого факта приводит нас к необходимости рисовать декартову систему координат и проводить подпространства через начало координат, хотя можно было бы ограничиться одной точкой О - полюсом.