- •Методические указания
- •Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению курса высшей математики
- •Правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Контрольная работа №9 Задача №1 интерполирование функций с помощью многочленов лагранжа и ньютона
- •Задача №7 численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача коши
- •Задача №8 решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Примеры решения задач к контрольной работе №9 Задача №1
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Задача №5
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Задача №8
- •Библиографический список
- •Содержание
Задача №5
Задание. На отрезке методом золотого сечения найти
точку минимума функции с точностью .
Решение. Метод золотого сечения известен как метод поиска экстремума в решении задач оптимизации. В основе метода лежит принцип деления в пропорциях золотого сечения. Золотым называется такое деление отрезка точкой на две неравные части, при котором отношение длины всего отрезка к длине его большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части отрезка. Для определения искомых точек необходимо составить уравнения:
, если -большая часть отрезка, и , если - большая часть отрезка. Отсюда мы получим две точки золотого сечения:
левая точка (*)
правая точка. (**)
При этом само соотношение, золотая пропорция,
Приведем схему золотого сечения. Пусть - требуемая точность вычисления точки минимума.
0. Начальный шаг. Находим точки и по формулам (*) и (**).
1. Вычисляем , :
если , то переходим к шагу 4;
если , то переходим к шагу 3;
если , то переходим к шагу 2.
2. Получаем новый отрезок , , . Находим ; если , то , и , в противном случае переход к 0.
3. Получаем новый отрезок , , . Находим ; если , то , и , в противном случае , находим по формуле (*) и переход к 1.
4. Получаем новый отрезок , , . Находим ; если , то , и , в противном случае , находим по формуле (**) и переход к 1.
Вернемся к решению нашей задачи.
1. Имеем отрезок . Вычисляем на нем по правилам (*) и (**) точки и : и .
2. Вычисляем и : , .
3. Так как , то имеем новый отрезок поиска:
. Проверяем на остановку: .
4. На новом отрезке нам уже известна одна точка золотого сечения . Находим .
5. Вычисляем и : , .
6. Сравнивая значения и , имеем, что , следовательно, приходим к новому отрезку . На нем имеем точку золотого сечения , .
7. Находим новые точки на отрезке ,
8. Вычисляем , . Известно, что и поэтому заключаем, что новый отрезок поиска .
9. На новом отрезке ,
10. Находим , . Сравниваем: . Заключаем, что новый отрезок ;
11. На новом отрезке ,
12. Находим , . Так как , новый отрезок поиска , . Вычисления закончены , .
Задача №6
Задание. 1) Вычислить интеграл по формуле левых и правых прямоугольников при .
2) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.
3) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при ; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей.
1) ; 2) ;
3) .
Решение. 1) Для вычислений по формулам левых и правых прямоугольников при разобъем отрезок интегрирования на 10 частей с шагом . Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка:
-
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.5
1.58
1.66
1.74
1.82
1.90
1.98
2.06
2.14
2.22
2.30
0.3165
0.3037
0.2922
0.2815
0.2716
0.2626
0.2541
0.2463
0.2390
0.2322
0.2259
Находим значения сумм: ; . Получим приближенное значение интеграла. По формуле левых прямоугольников
По формуле правых прямоугольников
Эти результаты отличаются уже в сотых долях. Более точное значение можно получить, определив полусумму
2) Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение так, чтобы
(*)
Здесь ; ; , где .
Находим , ;
.
Положим , тогда неравенство (*) примет вид , откуда , т.е. ; возьмем .
Вычисление интеграла проводим по формуле
,
где ; ; .
Все вычисления приведены в таблице:
-
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.7
0.73
0.76
0.79
0.82
0.85
0.88
0.91
0.94
0.97
1.00
1.03
1.06
1.09
1.12
1.15
1.18
1.21
1.24
1.27
1.30
0.88386
0.85572
0.82898
0.80366
0.77973
0.75700
0.73546
0.71501
0.69551
0.67700
0.65937
0.64259
0.62657
0.61140
0.59669
0.58272
0.56935
0.55658
0.54431
0.53253
0.52129
Таким образом,
.
3) Согласно условию , поэтому .
Расчетная формула имеет вид
где , .
Вычисления значения функции запишем в таблице:
-
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.2
1.25
1.30
1.35
1.40
1.45
1.50
1.55
1.60
0.1211
0.1520
0.1782
0.2000
0.2176
0.2312
0.2410
0.2473
0.02503
Следовательно,
.
Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка
|
|
|
|
|
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 |
0.1211 0.1520 0.1782 0.2000 0.2176 0.2312 0.2410 0.2473 0.2503 |
0.0309 0.0262 0.0218 0.0176 0.0136 0.0098 0.0063 0.0030 |
-0.0047 -0.0044 -0.0042 -0.0040 -0.0038 -0.0035 -0.0033
|
0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0002 |
-0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 -0.0001 |
Так как , то остаточный член формулы
Погрешность вычислений можно оценить из соотношения
.
Значит, полученные четыре десятичных знака верны.