![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Методические указания
- •Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению курса высшей математики
- •Правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Контрольная работа №9 Задача №1 интерполирование функций с помощью многочленов лагранжа и ньютона
- •Задача №7 численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача коши
- •Задача №8 решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Примеры решения задач к контрольной работе №9 Задача №1
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Задача №5
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Задача №8
- •Библиографический список
- •Содержание
Задача №7 численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача коши
Задание.
Получить численное решение
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее заданному начальному
условию
на отрезке
c шагом
методом Эйлера и классическим методом
Рунге-Кутта четвертого порядка.
№1.
.
№2.
.
№3.
.
№4.
.
№5.
.
№6.
.
№7.
.
№8.
.
№9.
.
№10.
.
№11.
.
№12.
.
№13.
.
№14.
.
№15.
.
№16.
.
№17.
.
№18.
.
№19.
.
№20.
.
Задача №8 решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
Задание. Найти численное решение линейной краевой задачи
для дифференциального уравнения второго порядка:
конечно-разностным методом, используя аппроксимацию производных второго порядка и шаг ;
методом прогонки с точностью
шаг
.
№1.
№2.
№3.
№4.
№5.
№6.
№7.
№8.
№9.
№10.
№11.
№12.
№13.
№14.
№15.
№16.
№17.
№18.
№19.
№20.
Примеры решения задач к контрольной работе №9 Задача №1
Дана таблица значений функции . Интерполируя эту таблицу многочленом Лагранжа (вариант 1-10) и многочленом Ньютона (вариант 11-20), найти приближенное значение функции для заданного значения аргумента . Пусть функция задана в равноотстоящих узлах таблицы:
-
0.101
0.106
0.111
0.116
0.121
0.126
1.26183
1.27644
1.29122
1.30617
1.32130
1.32660
Вычислим
значение функции
при
.
Решение. 1) Воспользуемся формулой
,
где
,
,
,
.
Здесь
.
Вычисления приведены в таблице:
|
|
|
|
|
0 1 2 3 4 5 |
0.101 0.106 0.111 0.116 0.121 0.126 |
-120 24 -12 12 -24 120 |
-352.8 46.56 -11.28 -0.72 25.44 -247.2 |
-0.0035766 0.0274149 -0.1144691 -1.8141250 0.0519379 -0.0054069 |
Итак,
,
.
Следовательно,
.
2) Используя первую или вторую интерполяционную формулу Ньютона, вычислим значения функции при следующих значениях аргумента:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
-
1.215
1.220
1.225
1.230
1.235
1.240
1.245
1.250
1.255
1.260
0.106044
0.113276
0.119671
0.125324
0.130328
0.134776
0.138759
0.142367
0.145688
0.14809
Составим таблицу конечных разностей:
|
|
|
|
|
1.215 1.220 1.225 1.230 1.235 1.240 1.245 1.250 1.255 1.260 |
0.106044 0.113276 0.119671 0.125324 0.130328 0.134776 0.138759 0.142367 0.145688 0.14809 |
0.007232 0.006395 0.005653 0.005004 0.004448 0.003983 0.003608 0.003321 0.003121 ------ |
-0.000837 -0.000742 -0.000649 -0.000556 -0.000465 -0.000375 -0.000287 -0.000200 ------ ------ |
0.000095 0.000093 0.000093 0.000091 0.000090 0.000088 0.000087 ------- ------ ------ |
При составлении
таблицы конечных разностей ограничиваемся
разностями третьего порядка, так как
они практически постоянны. Для вычисления
значений функции при
и
воспользуемся формулой Ньютона для
интерполирования вперед:
,
где
.
1) Если
,
то примем
;
тогда
,
2) Если
,
то примем
;
тогда
,
Для вычисления
значений функции при
и
воспользуемся формулой Ньютона для
интерполирования назад:
,
где
.
3) Если
,
то примем
;
тогда
,
4) Если
,
то примем
;
тогда
,