Лагранжев формализм и вариационные принципы механики

Если вдуматься в законы Ньютона, то окажется, что основное их содержание - это пропорциональность силы и ускорения. Правда, что такое сила остается непонятно, н масса просто коэффициент пропорциональности в соотношении

* F = та

- остается одной из самых таинственных величин.

Понимание этого обстоятельства и счастливое развитие мате­матических возможностей привели к более приемлемым с матема­тических позиций формулировкам этих законов. Оказывается, для каждого случая движения можно отыскать функционал - величину, определенную на всех возможных траекториях пли движениях меха нических систем, так называемых виртуальных перемещениях. Этот функционал и определяет истинное движение, или то движение, ко­торое осуществляется на самом деле. Экстремальное значение или минимум этого функционала достигается на истинном движении за­мкнутой механической системы. В этом обстоятельстве склонны ви­деть экономность природы: при движении материальной системы она не растрачивает напрасно силы.

Однако если вдуматься в этот принцип экономности, то окажется что природа в самый начальный момент уже предвидит все возмож­ные положения, через которые при своем движении пройдет данная материальная система. Значит, с самого начала, если заданы опреде­ляющие параметры системы, то уже вся последующая история ме­ханической системы определена навсегда. Именно здесь находится источник детерминистского взгляда на эволюцию Вселенной. Мыс­лители XVIII века своей всепобеждающей мыслью смогли исчислить движение небесных тел и, распространяя принцип детерминизма на всю Вселенную, ожидали скорого наступления того времени, когда все научные споры будут кончаться вычислениями.

Детерминизм концепция, предполагающая, что все возможные события в истории предопределены одним каким-то моментом в прошлом и все последующие события можно просто рассчитать. Иногда к наименованию детерминизм добавляют лапласов, по име­ни мыслителя, по легенде ответившего Наполеону на вопрос, почему в книге «Небесная механика» Лаплас ни разу не упомянул имя Госпо­да: «Мне не понадобилась эта гипотеза». Т. е. все нужные функциона­лы и гипотезы о их экстремалях у него были, и ему этого оказалось достаточно.

Фазовые портреты динамических систем па плоскости иллюстри­руют проведение детерминированных систем. Линейные системы на плоскости имеют одну особую точку в нуле, которая, в зависимос­ти от корней характеристического многочлена, может быть седлом, центром или фокусом. В случае седла все траектории находятся на гиперболах, в случае центра - на лучах, сходящихся в нуле, фокус -это вращение траекторий вокруг начала координат. В зависимости от чвидл^ттьту устовий точка попадает па одну из траекторий, и зся ее дальнейшая судьба описывается движением по заданной траектории (рис. 11).

Конечно, во времена Лапласа концепция детерминизма не пред­полагала описание движения всех атомов в доступной нам области Вселенной (хотя бы потому, что атомизм не победил тогда в естест­вознании), но тем не менее принципиальная возможность предопре­деленности, пусть даже практически мы не сумеем описать все дви­жения атомов и молекул, остается. Вопрос о природе случайного и о свободе воли не находит своего решения в рамках механистического подхода. Об этом мы будем говорить ниже.