Проблемы аксиоматического подхода к основаниям математики

В конце XIX века стало ясно, что не все благополучно в основ­ных понятиях: понятиях числа, функции, множества. Появились чу­довищные примеры множеств и функций, о самом существовании которых математики спорили весьма ожесточенно. Стало, ясно, что нужно пересмотреть исходные понятия, на которых строится строй­ное здание «самой точной из наук».

Аксиоматический подход - образец со времен Евклида построения науки - состоит в выделении минимального числа наиболее естест­венных постулатов (непреложных истин), которые позволяют вывес­ти все основные факты и теоремы теории на основе четких правил логического вывода. Выделяют три основных требования к системе аксиом:

• непротиворечивость - требование того, чтобы две или более ак­сиомы не противоречили друг другу;

• полнота - требование того, чтобы любой факт теории нашел свое разрешение в рамках данной аксиоматики, т. е. чтобы мы могли решить истинно или ложно данное утверждение;

• категоричность - требование, чтобы только один объект, с точ­ностью до эквивалентности или отождествления, удовлетворял сис­теме аксиом. (Так, например, числовая прямая отождествляется с системой вещественных чисел.)

Один из подходов к основаниям, носящий название логистичес­кий, представителем которого является Б. Рассел, исходит из поло­жения: единственный способ избежать противоречий в математике - опереться с самого начала на логику: в ней, есть надежда, проти­воречий нет, следовательно, они не возникнут и в математике.

В рамках этого подхода множества рассматриваются как набор элементов, подстановка которых в какую-либо логическую функцию превращает ее в истинную. Например, множество четных чисел по­лучается из логической функции-высказывания: «Число х делится на два». Однако довольно быстро становится ясно, что приходится рас­сматривать высказывания о высказываниях, к примеру: «Все выска­зывания о четных числах - это высказывания о числах, делящихся на два», а значит, приходится выстраивать целую иерархию типов: высказывания о высказываниях о высказываниях, и т. д. Неудов­летворительность такого подхода, когда на самом начальном этапе приходится заводить бесконечное число исходных типов теории, при­чем сложность этих типов растет в ужасающем размере, привела к идее добавить весьма искусственную аксиому сведения, состоящую в возможности сведения всех типов к первым пяти. Эта аксиома су­щественно снижает ценность теории.

Однако сама типология позволила разобраться с так называемым парадоксом лжеца. Высказывание: «Это высказывание - ложно», отно­сится к более высокому типу, чем то, о чем оно говорит, поэтому его нельзя применить к самому себе. Этот тип парадокса аналогичен парадоксу брадобрея (см. ниже).

Аксиома выбора - это не единственная проблема, возникающая в логистическом подходе: самым ярким можно назвать пример, с по­мощью которого логицисты вводят понятие числа. Например, число один есть количество элементов в любом одноэлементном множест­ве, т. е. в множестве, любые два элемента которого совпадают. Чтобы определить число один приходится апеллировать к числу два. Тем не менее логицисты сумели поставить на достаточно надежный фунда­мент математическую логику, и многие из современных обозначений принадлежат им. Нужно также отметить задачу построения языка (так называемого метаязыка), на котором будут описываться исход­ные понятия математики и не только ее. Попытки решения этой за­дачи дали очень много для построения алгоритмических языков ЭВМ и проблемы искусственного интеллекта.

Опасения попасть в порочный круг формальных и беспредмет­ных рассуждений привели критиков аксиоматического идеализма в математике к так называемому интуитивистскому подходу к осно­ваниям математики. С самых первых попыток аксиоматизировать математику интуитивистское направление в основаниях математики было подходом, конкурирующим с логистическим. Основоположника­ми этого подхода считают Пуанкаре, Лебега, Вейля. Самым ярким и последовательным приверженцем этого подхода явился Брауэр. Мож­но, конечно, найти истоки этого направления в «Правилах для руко­водства ума» Декарта: «В предметах нашего исследования надлежит отыскивать не то, что о них думают другие или что мы предполагаем о них сами, но то что мы ясно и очевидно можем усмотреть или на­дежно дедуцировать, ибо знание не может быть достигнуто иначе». Кроме того, вряд ли хоть один представитель математической нау­ки может утверждать, что обходился в своей науке без интуиции, что, как не интуиция, позволила Гильберту выбрать наиболее при­емлемый набор аксиом для его замечательного достижения - первой полной системы аксиом геометрии. Хотя именно Гильберту принадле­жит высказывание о том, что для него все равно, что такое прямая: хоть стол, хоть пивная кружка.

Интуитивистский подход к математике вряд ли можно на­звать рожденным XIX веком: еще в декартовом «Рассуждении о методе» приводилась мысль об интуиции, или очевидном, как по­следнем аккорде в любом рассуждении. Кант в своем учении о врож­денных истинах был явным интуитивистом. Но интуитивисты пошли дальше. Они отрицали принцип исключенного третьего в том виде, в каком он применялся в математике, как способ доказательства су­ществования различных объектов. Принцип этот (как утверждали интуитивисты), совершенно верный в случае конечных множеств, не может быть применен к бесконечным совокупностям, так как мы не в состоянии проверить все элементы бесконечного множества на вы­полнение какого-либо условия. Таким образом из математики исклю­чалось (вместе с принципом исключенного третьего) огромное коли­чество фактов. И даже само существование некоторых чисел, если нельзя было придумать процедуру-алгоритм их вычисления, было не­обоснованным. Таким образом, числовая прямая оказывалась сплошь из дырок. Кроме того, по сути отрицалась сама актуальная бесконеч­ность, как понятие, использование которого возможно в математике.

Интуитивисты не могли, конечно, обойтись без чисел \/2 , тг, но, отрицая актуальную бесконечность, им нужно было прибегать к по­тенциальной, т. е. к последовательности шагов, с помощью которых с любой точностью можно вычислить заданное число. Скажем, число ж вычисляется как половина предела периметров правильных много­угольников, вписанных в единичную окружность. Такой подход нуж­но признать весьма прагматичным, ведь не можем же мы работать с числом, не умея посчитать его с наперед заданной точностью с помощью алгоритма, однако не все числа на оси таковы. На осно­ве этого подхода был предпринят ряд попыток построить анализ на так называемой конструктивной основе, когда к каждой теореме ана­лиза прилагался алгоритм вычисления числа или другого объекта, упомянутого в теореме. Нет спору, что алгоритм вычисления - это большое достижение и дополнение к теореме и, вообще, это стремле­ние много дало в конструктивном плане з математике. Сейчас счита­ется хорошим достижением, когда к теореме существования может быть предложен алгоритм вычисления или построения объекта тео­ремы. Такие теоремы называют конструктивными. Однако в целом попытки построения такого анализа оказались весьма неуклюжими, так как для того чтобы добраться к первым фактам математическо­го анализа, нужно предпринять громадные усилия, в то время как с этой задачей справляются легко студенты-первокурсники.

Д. ГИЛЬБЕРТ И ФОРМАЛИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Мощнейший импульс решению проблемы оснований математики был дан на рубеже веков Гильбертом, наметившим целую программу построения оснований математики. Вдохновленный своим успехом в аксиоматизации геометрии, которая впервые после Евклида прояс­нила все вопросы, связанные с непрерывностью, которые оставались в геометрии, Гильберт предложил остроумный способ выяснения не­противоречивости системы аксиом - моделирование. Модель - это объект, построенный с помощью применения простых и посторон­них для данной области средств, на котором проверяется выполнение данной системы аксиом. Язык и средства, при помощи которых стро­ится модель, призванная проверить непротиворечивость математи­ки, получили название метаматематики. Однако в проблеме оснований математики все оказалось совсем непросто, было непонятно, какими объектами должна оперировать метаматематика, по каким законам, и на каком метаязыке эти законы должны быть записаны. Дело в том, что к проблеме оснований такой подход моделирования, очевид­но, неприменим, поскольку средства, при помощи которых строится модель, не могут быть определены до того, как определены некото­рые исходные понятия, для проверки непротиворечивости которых собственно и строится эта модель.

Наиболее изящными выглядят модели конечных геометрий, на­пример геометрии из четырех точек. Ее точки представлены как вер­шины квадрата, соединенные шестью прямыми - сторонами квадрата и диагоналями (в этой геометрии диагонали квадрата не пересекают-

ся, рис 4.

Гильберт явился основоположником формалистического подхода в основаниях математики. В рамках этого подхода с самого начала предполагается, что содержательной стороны за аксиомами нет, и вся математика в проблеме оснований, или метаматематика как особый язык, превращалась в игру с символами-словами языка метамате­матики. В числе этих символов были пропозициональные функции т. е. те же самые логические высказывания, в которые можно под­ставлять объекты или опять же высказывания, стрелочка, которая олицетворяла правило вывода, и т. п. Нельзя сказать, что Гильберт не понимал содержательной сути математики, но ввиду многочис­ленных неудач в аксиоматизации основ математики он пытался до­стичь успеха, пусть даже такой дорогой ценой. Непротиворечивость формалистами понималась весьма просто, как то, что не получит­ся в конце цепочки выводов равенства 0 = 1. Программа Гильберта предусматривала формализацию всех областей математики, а имен­но последовательно: арифметики, теории вещественного числа, далее анализа, геометрии и т. д. На этом пути появились первые успехи. Но потом произошло крушение.

В работах Геделя по аксиоматизации арифметики, к чему уда­лось свести аксиоматизацию основных областей математики, была доказана теорема, которая свела па нет все надежды на благополуч­ный исход формализации математики. Теорема Геделя гласит, что в любой аксиоматической теории всегда можно найти высказывание, которое в равной степени может быть и истинным, и ложным. Таким образом, любая аксиоматическая теория не может включать в себя все теоремы, т. е. она неполна. Хуже того, обнаружилось, что любая аксиоматическая теория некатегорична, т. е. есть два объекта, на которых выполняется эта система аксиом, но эти два объекта неизо­морфны, т. е. их невозможно отождествить.

Теория множеств претендует на роль наиболее распространенно­го подхода к основаниям математики. Она исходит из двух понятий: множества как совокупности элементов и элемента множества; отно­шение между множеством и-его элементом выражается отношением принадлежности а € А. Теория множеств исходит из простых акси­ом, вроде: если одно множество больше другого, а то в свою очередь больше третьего, то первое больше третьего. Однако одна из аксиом, а именно аксиома выбора, которая обязана своим появлением много­численным приложениям в анализе, совсем не так очевидна. Как мы уже упоминали, она гласит, что из любой совокупности множеств можно выбрать ровно по одному элементу.

Кроме того, в теории множеств запрещены слишком большие совокупности множеств, которые выделены в особые образования -классы. Это связано с давно понятым парадоксом типа парадокса бра­добрея. Парадокс брадобрея состоит в том, что имеется брадобрей, взявший обязательство брить всех, кто не бреется сам, и только их, в этом случае брадобрею приходится бриться самому, потому что, если он не бреется сам, то он должен брить себя, но он не может и брить самого себя. Точно такие же парадоксы возникают, если рас­смотреть множество всех множеств, которые не являются элементом самого себя, тогда это множество должно себя содержать, т. к. если оно себя не содержит, то оно находится в совокупности всех таких множеств, но и оно не может себя содержать.

Самым большим сюрпризом для математиков оказалась гипотеза континуума, которая состоит в том, что между множеством нату­ральных чисел и множеством всех вещественных чисел, как между двумя мощностями, нет других мощностей. Оказалось, что эта ги­потеза может быть принята или в таком виде (т. е. таких множеств нет) или в виде отрицания ее (т. е. такие множества есть), от это­го не меняется система основных аксиом теории множеств'. Т. е. эта гипотеза - то самое утверждение, которое обещала теорема Геделя о неполноте любой аксиоматической теории.

Еще более неприятным фактом является следующая трппрмя (парадокс Банаха-Тарского), являющаяся следствием аксиомы выбо­ра: шар можно разбить на четыре части так, что из каждой пары можно вновь склеить такой же шар.

Таким образом, многочисленные попытки и различные конку­рирующие подходы к основаниям математики не привели к сколь-нибудь однозначному решению проблемы оснований. Вместо постро­ения одной, наиболее приемлемой системы постулатов в основаниях математики произошло разделение на различные рукава в общем те­чении математики. Наиболее употребительной терминологией, кото­рую используют в проблемах оснований остается стихийно-наивная теория множеств.

Любопытно, что в последнее время состоялось возрождение дав­него лейбницева подхода к воззрениям на теорию вещественных чи­сел - один из бастионов математики. В нестандартном анализе произо­шло возрождение понятия бесконечно малой величины. Так называ­емая «нестандартная числовая прямая» содержит наряду с обычным числом а и числа а + (0), где (0) - бесконечно малая величина. Эта величина (0) бесконечно малая, взятая сколь угодно раз, остается меньше любого конечного числа (т. е. здесь не выполнена аксиома Архимеда п(0) < аУа € R Vn £ N). Нестандартная прямая - это и не прямая вообще, а, скорее, ее моделью является лента, где на каждое число а нанизан отрезок чисел а + (0). Эти представления не произ­вели переворота в математике, но многие сложные понятия анализа получили изящную формулировку в этих термина'х. Например, функ­ция является непрерывной, если бесконечно малому приращению ар­гументу соответствует бесконечно малое приращение функции.

ПОСТУЛАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ И РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ