1. Уравнение Бернулли.

Для расчета трубопроводов используется уравнение Бернулли, которое выводится из уравнения Навье-Стокса:

Рассмотрим одно из системы уравнений Навье-Стокса для невязкой жидкости в скалярной форме:

Учитывая, что ускорение складывается из местного и конвективного ускорений

,

прибавим и вычтем из левой части члены . Перегруппируем и получим для стационарного режима:

Частная производная по от половины квадрата скорости равна

Из анализа общего характера движения жидкости известно, что

;

Используя приведенные выше зависимости, придадим левой части уравнений движения вид:

Придадим уравнению векторную форму. Для этого умножим обе части системы на орты осей и сложим их почленно, учитывая правило векторного произведения

в результате получим:

Полученное уравнение называется уравнением движения невязкой жидкости в форме Громеко. Хотя по виду оно сложнее, чем уравнение Навье-Стокса, но иногда для анализа удобно, чтобы было выделено в явной форме слагаемое, содержащее угловые скорости.

В общем случае математическая теория для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка разработана пока недостаточно. Для таких систем пока нет общей формулировки и доказательства теорем существования и единственности решения. Однако, для ряда частных случаев решения найдены.

Интегралы уравнений движения позволяют установить прямую связь между скоростями и давлениями в потоке жидкости. Применим первое, характерное для любого интегрирования допущение, что массовые силы имеют потенциал, т.е. .

Исходя из этого условия, перепишем уравнение Громеко, одновременно перегруппировав его члены:

Умножим скалярно обе части последнего уравнения на элемент линии тока

совпадающий по направлению с вектором скорости u

Рассмотрим правую часть этого выражения. Как видно из рис.2.17 векторы и перпендикулярны (вспомним правило векторного произведения).

Из этого вытекает, что , а, следовательно, , приняв , имеем .

Рис.3 К выводу уравнения Бернулли

Исходя из этого, устанавливаем, что вдоль линии тока эта сумма постоянна, т.е.

Уравнение называется интегралом Бернулли. Константа C в правой части уравнения постоянна только вдоль линии тока.

Все слагаемые, входящие в это уравнение имеют размерность удельной работы.

Физический смысл. Интеграл Бернулли был получен умножением уравнения движения, которое характеризует удельные силы различной природы, на элементарное перемещение вдоль линии тока, что физически определяет удельные работы или эквивалентные им удельные энергии:

- кинетическая энергия жидкости, разделив которую на массу, получим первое слагаемое в уравнении (2.29);

- потенциальная энергия столба жидкости, разделив на массу, получим второе слагаемое;

- механическая работа, отнесенная к массе, дает третье слагаемое уравнения.

Поскольку сумма кинетической и потенциальной энергии равна полной механической энергии, интеграл Бернулли можно истолковать следующим образом: вдоль линии тока механическая удельная энергия частицы жидкости постоянна.

Интеграл Бернулли в зависимости от задачи имеет разную форму

,

данная запись означает, что изменение удельной кинетической энергии равно сумме удельных работ силы тяжести и сил давления . Разделив обе части уравнения (2.29) на , получим

,

где - пьезометрическая высота,

- геометрическая высота,

- скоростная высота,

- полный или гидродинамический напор.

В этой форме уравнение Бернулли обычно применяется для решения задач движения жидкости по трубам и каналам.

Пример результата расчета простого трубопровода показан на рис.4

Рис.4 Пьезометрическая линия простого трубопровода.