2.7. Циркуляция скорости и теорема стокса

Интенсивность вихрей является прямой характеристикой вихревого движения, но ее нельзя непосредственно измерить. Кроме того, в некоторых расчетах удобнее оперировать такой мерой вихревого движения, которая выражалась бы не через угловую, а через поступательную скорость. Этому отвечает понятие циркуляции скорости.

Циркуляцией Г вектора скорости и по некоторому контуру называется криволинейный интеграл от скалярного произведения и на элементарный вектор ds дуги контура L (рис. 2.18):

. (2.39)

Циркуляцию можно представить в виде

(2.40)

где dx, dy, dz — проекции вектора ds.

Отметим свойства циркуляции, вытекающие из ее определения как криволинейного интеграла;

1) циркуляция скорости по всему контуру равна сумме циркуляции по отдельным его участкам;

2) при изменении направления обхода контура на обратное изменяется знак циркуляции (условимся считать положительной циркуляцию, которая получается, если контур обходить так, чтобы ограниченная им область оставалась слева).

Связь между циркуляцией и интенсивностью вихрей устанавливается теоремой Стокса. Сформулируем и докажем ее для односвязной (А) и многосвязной (Б) областей.

А. Циркуляция скорости по замкнутому контуру, ограничивающему односвязную область, равна потоку вихрей через эту область.

________________

 Джорж Габриель Стокс (1819—1903) — ведающийся английский физик и математик, автор ряда исследований по математике и гидродинамике. Дал вывод уравнений движения вязкой жидкости (см. гл. 5), исследовал закон медленного движения шара в жидкости и волны на поверхности жидкости. Получил ряд важных математических результатов, в числе которых излагаемая теорема.

Рис. 2.19. Схема для доказательства теоремы Стокса

Для доказательства на произвольной незамкнутой поверхности  расположим замкнутый, не пересекающий себя кон­тур L (рис. 2.19, а), ограничивающий площадь .

Как известно из теории криволинейных интегралов, если на поверхности  заданы три непрерывные и дифференцируемые функции Р, Q и R, то для них справедлива формула Стокса

Выбирая в качестве функций Р, Q и R проекции скорости и_х, u_y и u_z соответственно и применяя формулу Стокса, получаем

Разности производных, стоящие в круглых скобках под знаком интеграла, представляют собой, очевидно, удвоенные компоненты вектора угловой скорости , а правая часть является циркуляцией скорости по выбранному контуру. Учтем, кроме того, геометрические соотношения: d cos (п, х) = d_x; d cos (п, у) = d_у; d cos (n, z) = d_z, где d_x, d_у, d_z, — проекции площадки d на плоскости, нормальные осям х, у, z. Эти величины можно рассматривать как проекции вектора d. Тогда выражение (2.41) можно записать в виде

Подынтегральное выражение в последнем равенстве представляет собой скалярное произведение векторов  и d. Следовательно,

(2.42)

Правая часть выражения (2.42) есть поток вихрей через область , т.е. удвоенная интенсивность вихрей, пронизывающих эту область. Равенством (2.42) доказывается теорема Стокса для односвязной области.

Б. Поток вихрей через многосвязную область равен разности между циркуляцией по внешнему контуру L и суммой циркуляции по всем внутренним контурам l_i.

Докажем теорему вначале для двухсвязной области. Для этого соединим внешний L и внутренний l контуры «перемычкой», как показано на рис. 2.19, б. Точки A и A', В и В' расположим достаточно близко одна к другой. Сложный контур ALA'B'lBA ограничивает односвязную область и к нему применима теорема Стокса, доказанная в п. А. Следовательно, _ala'-b'iba = 2J, где J — суммарная интенсивность вихрей, пронизывающих об­ласть . Разбивая криволинейный интеграл, которым выражается циркуляция, на интегралы по отдельным участкам, получаем

_ala' + _a'b'+ _b'ib+ Г_ba = 2 J.

Будем приближать точку А' к точке A и В' к В. Тогда в пределе получим Г_AB = — Г_Ba, поскольку эти величины представляют собой криволинейные интегралы, взятые по одному и тому же отрезку АВ, проходимому дважды в противоположных направлениях. Следовательно,

_ala'+ _b'ib = 2 J.

Учтем, наконец, что _ala' = _l и —_b'lb = Г_l пред­ставляют собой циркуляции соответственно по внешнему и вну­треннему контурам, взятые в одном направлении. Тогда

(2.43)

что и доказывает теорему Стокса для двухсвязной области. Обобщение доказательства для многосвязной области не составляет труда. Нетрудно убедиться, что

(2.44)

где Г_li — циркуляция по внутренним контурам n-связной области.

Таким образом, циркуляция скорости по замкнутому контуру может служить, наряду с интенсивностью J, мерой вихревого движения. Использование циркуляции в теоретических вычислениях и практических расчетах очень удобно и эффективно.