4.3 Отношение на множестве. Свойства отношений.

Соответствие, заданное между двумя равными множествами Х=Y, называется бинарным отношением, заданным на множестве Х (или просто отношением).

Для каждого отношения Р между элементами множеств Х и Y существуют отношения, обратное Р и отношение противоположное отношению Р.

Отношение Р = (Х, G_P) называется рефлексивным, если любой элемент из множества Х находится в этом отношении с самим собой, т.е. для любого хÎХ имеем хРх.

На графе рефлексивного отношения около каждого элемента будет петля.

Отношение Р = (Х, G_P) называется симметричным, если для любых двух элементов х и у из множества Х, для которых выполняется хРу, выполняется и уРх.

На графе симметричного отношения, если от одного элемента к другому идет стрелка, то она двойная.

Отношение Р = (Х, G_P) называется транзитивным, если для любых трех элементов х, у и z из множества Х (не обязательно различных) для которых имеет место хРу и уРz, то имеет место и хРz.

На графе транзитивного отношения, если есть стрелка от х к у и от у к z, то должна быть стрелка и от х к z. Однако, это не означает, что любые три элемента должны быть соединены стрелками.

Отношение Р = (Х, G_P) называется антирефлексивным, если ни один элемент множества Х не находится в отношении Р с самим собой.

Отношение Р = (Х, G_P) называется асимметричным, если ни для каких элементов х и у из множества Х не может случиться, что одновременно хРу и уРх.

Отношение Р = (Х, G_P) называется антисимметриным, если хРу и уРх одновременно выполняются в том и только том случае, когда х=у, где х и у элементы множества Х.

Отношение Р = (Х, G_P) называется антитранзитивным, если для любых трех элементов х, у, z множества Х из того, что х находится в отношении Р с у и у находится в отношении Р с z следует, что х не находится в отношении Р с z.

Отношение Р = (Х, G_P) на множестве Х называется связным, если для любых двух элементов х и у множества Х из того, что х¹у следует, что х находится в отношении Р с у или у находится в Р отношении с х.

Упражнение 13.

1. Отношение К: «число х меньше числа у на 2 единицы» задано на множестве А={х│хÎZ, -2£х£2}.

а) перечислите все пары чисел, принадлежащие множеству А, находящиеся в отношении К;

б) сформулируйте отношение обратное и противоположное данному. Постройте их графы и графики.

2. На рисунке сплошными стрелками изображен граф отношения «быть братом», а пунктирным – граф отношения «быть сестрой». Некоторые стрелки пропущены. Восстановите их.

3. На рисунке изображены графы двух отношений «х отец у» и «х дед у». Какой граф соответствует второму отношению?

4. В таблице выделены некоторые отношения, рассматриваемые в начальном курсе математики. Какими свойствами они обладают?

Отношение	равно	меньше	Больше в 2 раза	длиннее	Выше на 3см	Делится нацело
Множество	N	N	N	отрезки	рост	N
Рефлексивно
Симметрично
Транзитивно
Антирефлекс.
Асимметр.
Антисимметр.
Антитранзит.

5. Класс выставил на соревнования по плаванию команду мальчиков. В нее входили: Витя, Коля, Андрей и Саша. Коля проплыл дистанцию быстрее Андрея, но медленнее Саши. Андрей затратил на ту же дистанцию времени больше, чем Витя, который плавал медленнее Коли. Как распределились места на соревнованиях?

6. Толя, Володя и Саша живут на одной и той же улице, но в разных домах. На этой же улице находится школа, в которой они учатся. Володя живет от школы не ближе Толи, а Саша – не дальше Толи. Ребята любят приходить в школу вместе. Кто из ребят должен выходить из дома раньше всех, кто – несколько позже и, кто из них встречает двух остальных?

7. Мы наблюдаем за вертолетом, орлом, воздушным шаром и самолетом. Орел находится выше вертолета, вертолет – ниже самолета, но выше воздушного шара, а орел – ниже самолета. В каком порядке расположились по высоте вертолет, орел, воздушный шар и самолет?

8. Известно, что отношение R рефлексивно и транзитивно. Дополните граф этого отношения.