Соответствие.
4. 1 Понятие о соответствии.
Соответствием f между элементами множеств Х и Y называют упорядоченную пару множеств (X Y, Gf), где Gf X Y.
Множество Х называют областью отправления, множество Y - областью прибытия, а множество - Gf - графиком этого соответствия.
Из определения следует, что для задания соответствия между элементами множеств Х и Y необходимо указать декартово произведение этих множеств и график Gf, который состоит из пар элементов, находящихся в этом соответствии.
Областью определения соответствия f =(X Y, Gf) называется множество тех элементов первого множества (области отправления), которым соответствуют элементы второго множества (области прибытия).
Множеством значений соответствия f =(X Y, Gf) называется множество элементов из второго множества Y (области прибытия), которые поставлены в соответствие некоторым элементам первого множества Х (области отправления).
Пусть f - некоторое соответствие между элементами множеств Х и Y. Полным образом элемента а из множества Х называется множество всех элементов у из множества Y, таких, что afy. Полным прообразом элемента b из множества Y называется множество всех элементов х из множества X, таких, что xfb.
Пусть Р - некоторое соответствие между элементами множеств Х и Y. Обратным ему называют соответствие Р-1 между элементами множеств Y и X, такое, что уР-1х в том и только в том случае, когда хРу.
Соответствие Р1 между множествами Х и Y называется противоположным соответствию Р, если оно является дополнением соответствия Р до декартова произведения Х Y.
Пример. Отрезки, изображенные на рисунке являются графиком соответствия Р, заданного на множестве действительных чисел. Определите область определения и множество значения данного соответствия.
Решение. По чертежу видно, что все абсциссы точек графика соответствия Р принадлежат промежутку [-3,1], а ординаты принад- лежат множеству {1,3}. Множество [-3, 1] есть область определения соответствия Р, а множество {1, 3} - множество значений соответствия Р.
Упражнение 11.
1. Пусть Х - множество столов в аудитории.
Y - множество студентов.
Через xRy обозначим соответствие "за столом а сидит студент в". Что обозначают множества R(a) и R-1(b)? Когда R(a) = Æ ?
2. Соответствие R между множествами Х и Y задано при помощи графа. Укажите: а) область отправления, б) область прибытия, в) область определения, г) множество значений, д) график.
3. Даны множества Х ={ 2, 4, 6} и Y ={ 3, 5, 7}. Соответствие R между множествами X и Y таково: "число х больше числа у". Постройте граф этого соответствия. Постройте графы противоположного и обратного соответствия.
4. Дана таблица. Заштрихуйте клетки, стоящие на пересечении таких столбцов А и строк В, что число А кратно В. Что представляет собой множество заштрихованных клеток?
5. Для следующих соответствий сформулируйте противоположные и обратные:
а) точка А лежит на прямой В,
б) число А является корнем уравнения В,
в) число А больше числа В,
г) прямая А пересекает прямую В.
6. Даны два множества А ={-1, -2,-3, 0, 1, 2, 3} и N- множество натуральных чисел. Постройте граф соответствия "каждому числу из множества А соответствует его квадрат".
7. Соответствие между множествами А и В задано при помощи графа. Изобразите график соответствия в прямоугольной системе координат. Постройте график обратного и противоположного соответствия.
8. Даны множества Х = {xÎZ, -3£х<0}, Y=Z.
Каждому значению х ÎХ поставим в соответствие такое значение у ÎY, которое на 3 больше этого х. Перечислите элементы, принадлежащие графику соответствия и изобразите его в прямоугольной системе координат. Сформулируйте обратное и противоположное соответствие.
9. Соответствие между множествами С ={1, 2,3,4,5} и D ={5, 6, 7} таково, что его график состоит из пар, в которых первая компонента взята из множества С, а вторая - из D и больше первой компоненты. Постройте графики этого соответствия и соответствий обратного и противоположного данному.