1.5 Разбиение множества на классы.

Считают, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы если выполнены следующие условия:

1) все подмножества непустые,

2) любые два подмножества не пересекаются,

3) объединение всех подмножеств совпадает с множеством X.

Разбиение множества на классы называют классификацией.

Пример. Х - множество треугольников, А, В и С - его подмножества. Можно ли говорить о разбиении множества Х на классы А, В и С, если А - множество равнобедренных треугольников, В - множество равносторонних треугольников, С - множество разносторонних треугольников.

Решение. Проверим, выполняются ли в данном случае условия разбиения. Так как среди равнобедренных треугольников есть рав­носторонние (множество равносторонних треугольников является подмножеством множества равнобедренных треугольников), то множества А и В пересекаются, а, значит, второе условие разбие­ния не выполнено. Следовательно, множество треугольников нельзя разбить на классы равнобедренных, равносторонних и разносто­ронних треугольников.

Упражнение 4.

1. Проверьте, выполнены ли условия классификации, если:

а) множество углов разбили на острые, тупые и прямые;

б) множество звуков русского языка - на гласные и согласные;

в) множество учащихся школы - на первоклассников, отличников и мальчиков.

г) натуральные числа делятся на однозначные, двузначные и трехзначные.

д) параллелограммы могут быть прямоугольниками, квадратами и ромбами.

2. Из множества Y четырехугольников выделили подмножество Р четырехугольников, обладающих свойством "быть прямоугольником" и подмножество Т четырехугольников, обладающих свойством "быть ромбом". Укажите на сколько попарно непересекающихся множеств и каких разбито множество Y.

3. В множестве Х учащихся некоторого класса выделили подмножества А, В, С (А, В, С  X). Известно, что элементы множества А обладают свойством "быть лыжником", В - "быть шахматистом", С - "быть отличником". Выясните на какое максимально возможное количество попарно-непересекающихся подмножеств может быть осуществлено разбиение Х при помощи заданных трех свойств. Укажите характеристическое свойство элементов каждого из подмножеств разбиения.

1.6 Декартово произведение множеств.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента каждой из которых принадлежит множеству А, а вторая - множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают А  В. Таким образом, А  В = { (х, у)  х  А и у  В }.

Операцию нахождения декартова произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.

Если А и В числовые множества, то элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел. Изображение каждой пары чисел точкой на координатной плоскости позволяет получить фигуру на этой плоскости.

Пусть даны множества X₁, Х₂,..., Х_n. Возьмем какой-нибудь элемент a₁X₁, a₂  X₂,..., a_n X_n. Выбранные элементы расположим по порядку: (a₁, a₂,...,a_n). Мы получаем упорядоченную n-ку элементов или кортеж длиной n.

Декартовым произведением множеств a₁, a₂,...,a_n называется мно­жество кортежей длины n, первая компонента каждого из которых принадлежит множеству a₁, вторая множеству - a₂,..., n-я - множеству a_n. Оно обозначается так: А₁  a₂  ...  a_n.

Пример. Перечислите элементы декартова произведения множеств А= {3, 4, 5} и В = {1, 2, 6, 7}.

Решение. Элементами декартова произведения множеств А и В являются такие упорядоченные пары чисел, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая - множеству В. Поэтому

А  В = {(3,1), (3,2), (3,6), (3,7), (4,1), (4,2), (4,6), (4,7), (5,1), (5,2), (5,6), (5,7)}

Упражнение 5.

1. Даны множества А ={ а, b, с }, В ={1, 2}, С ={2, 3, 4 }. Найдите множества АВ, ВА, (А  В)(А  С), А  (ВС).

2. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения множеств Х и Y, если:

а) Х = {-1, 0, 1, 2), Y = {2, 3, 4 };

б) X = {-1, 0, 1, 2}, Y= 2, 4;

в) X = -1, 2, Y = {2, 3, 4};

г) X = [l, 7, Y = [2, 6;

д) Х = (-3, 2), Y = [0, 5];

e) X = R, Y = (-2, 2) ;

ж) Х = (-3, 2), Y = R ;

3) X = {2 },Y = R ;

и) Х = R, Y= {-3},

к) Х=(-2, 3)5, +), Y=(-, 1){4, 6}.

3. На координатной плоскости постройте прямоугольник, вершинами которого служат точки А(-3, 5), В(-3, 8), С(7, 5),

D(7, 8). Опишите множество точек этого прямоугольника, используя понятие декартова произведения.

4. Запишите множество букв слова “параллелограмм”. Запишите кортеж букв, входящих в это слово, Какова длина этого кортежа?

5. Сколько цифр в записи числа 178877 ? Сколько различных цифр в записи этого числа? Ответьте на поставленные вопросы и переформулируйте их, используя понятия множества и кортежа.

6. Образуйте все возможные кортежи из букв а, в, с. Сколько кортежей получилось? Выявите противоречие в условии. Какое условие надо добавить, чтобы задача стала разрешимой?