МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.
1.1 Способы задания множеств.
Под множеством в математике понимают какую-либо совокупность предметов или понятий.
Эти предметы (объекты, явления, понятия), из которых состоит множество, называются элементами множества. Говорят также, что эти элементы принадлежат множеству. Множество не содержащее никаких элементов, называется пустым и обозначается .
Пусть А обозначает некоторое множество. Если какой-либо элемент a принадлежит множеству А, то это записывают a А, а если а не принадлежит А, то записывают a А .
Множество можно задать перечислением всех его элементов. Если множество А состоит из букв а, b, с, d, то пишут:
А = {а, b ,с ,d}.
Множество может быть задано описанием характеристического свойства его элементов, т. е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты. При таком задании множества используется следующая запись: в фигурных скобках приводят обозначение элемента, после чего ставят вертикальную черту, а затем указывают характеристическое свойство.
Например, запись А = {х | х < 7} означает, что множество А состоит из всех таких чисел, которые меньше 7.
Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения: N - множество натуральных чисел, Z - множество целых чисел, Z0 - множество целых неотрицательных чисел, Q - множество рациональных чисел, R - множество действительных чисел.
Пример. Запишите множество А, элементами которого являются натуральные делители числа 24, используя символическую запись характеристического свойства и перечисление элементов множества.
Решение. Множество А задано описанием характеристического свойства “быть натуральным делителем числа 24”, поэтому его запись может быть такой: А = {х 24 х, х N}. Натуральными делителями числа 24 являются: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, - следовательно, множество А можно записать так:
А = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Упражнение 1.
1. Придумайте пример множества, заданного с помощью характеристического свойства, которое нельзя задать перечислением всех его элементов.
2. Прочтите следующие записи и перечислите элементы каждого из множеств:
В = {b | b - месяц года, в название которого входят четыре и только четыре различные буквы}.
С = {с | с - европейское государство, название которого начинается с буквы Ш}.
Е = {х | х N, -1 < х < 5};
К = {х | х N, х < 7};
L = {х | х R, 5х = х - 7};
М = { у | у R, 2(5у + 10) = 10у + 20};
N = {х | х N, х2 = 4};
S = {х | х Z, х2 = 4};
Т = {х | х Z, х2 = 2};
V = {х | х N, х2 < 9};
W = {х | х Z, х2 9}.
3. Даны множества А = { 1, 3, 5, 7, 9 };В = {12, 11, 10, 9, 7, 8 };
С = { 11, 22, 33,44, 55,66, 77, 88,99}.
Сформулируйте характеристическое свойство элементов каждого из этих множеств.
1.2 Отношения между двумя множествами.
Элемент, принадлежащий одновременно множеству А и множеству В, называют общим элементом этих множеств. Если множества А и В имеют общие элементы, то говорят, что они находятся в отношении пересечения или пересекаются, и пишут: А В . Если множества А и В пересекаются и каждый элемент множества В принадлежит и множеству А, то множество В называют подмножеством множества А и пишут: В А. Ясно, что А.
Множество А и пустое множество являются несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества А называются собственными.
Для каждого множества , состоящего из n элементов, можно образовать 2n подмножеств.
Если множество В является подмножеством множества А, то говорят также, что множества А и В находятся в отношении включения.
Если А В и В А, то множества А и В называют равными и пишут: А = В. Равные множества состоят из одних и тех же элементов.
Чтобы сделать наглядными рассуждения, связанные с множествами, используют круги Эйлера. С их помощью все возможные случаи пересечения двух множеств представляются так, как на рис. 1.
А В
А В
В
А
А = В
а) АВ∅ б) В⊂А в) А⊂В г) А=В
рис1.
Если множества А и В не имеют общих элементов, то их называют непересекающимися и пишут: А В = . Непересекающиеся множества изображают при помощи кругов Эйлера, так, как показано на рис. 2.
А В
рис 2.
U
Универсальное множество - это самое "большое" множество, содержащее в себе все множества, рассматриваемые в данной задаче. Например, если речь идет о множестве чисел, то таким множеством может быть множество R - множество всех действительных чисел. На диаграммах Эйлера универсальные множества принято обозначать U и изображать в виде прямоугольника. (рис. 3.)
рис. 3
Пример. Равны ли множества А = {а, b, с} и В = {а, {b, с}}
Решение. Эти множества не равны, так как элемента в нет в множестве В, которое состоит из двух элементов: а и множества, состоящего из двух элементов в и с.
Упражнение 2.
1. Изобразите с помощью диаграммы Эйлера множества А, В и С, если:
а) А В и В С
б) А С, В С и А В =
в) А В , А С , В С , А В С
г) А В = , А С , В С
2. Известно, что х Х и х У. Следует ли отсюда, что:
а) Х ; б) Х; в) Х = .
3. Учащийся установил, что каждый элемент множества Х принадлежит множеству . Какой из следующих выводов должен был сделать учащийся : а) Х; б) Х ; в) Х =
4. Известно, что D - множество деревьев в саду, F - множество фруктовых деревьев в этом саду, К - множество яблонь в саду.
Установите, каковы отношения между парами этих множеств, если все они непустые. Изобразите множества D, F и К с помощью диаграмм Эйлера.
5. Постройте диаграммы Эйлера для множеств Е, К и М, предварительно выяснив, каковы отношения между парами этих множеств, если:
Е - множество двухэтажных домов в городе,
К - множество пятиэтажных домов в городе,
М - множество домов в городе.
6. Даны множества А = { а, b, с, d }, В = { а, b, 4 }, С = { 4, 2, с }, D ={ а, b, 3 }, F = {1, b }. Найдите а, b, с, d, зная, что В А, С А, D А, F В.