В проекциях на оси координат

Видно, что внутренние силы не входят в теорему и не влияют на изменение количества движения системы.

Законы сохранения количества движения

Представляют собой частные случаи теоремы об изменении количества движения системы.

Если то

т.е. если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество движения системы постоянно по величине и направлению.

Если равна нулю проекция главного вектора внешних сил только на одну ось системы координат, то имеем Q_x=const, т.е. проекция количества движения системы на ту же ось является постоянной величиной (сохраняется).

Если мы имеем тело, разрывающееся под действием внутренних сил на две части, то полный импульс системы, состоящей из двух частей, сохраняется, т.е.

Теорема о движении центра масс

или

т.е. центр масс системы движется как точка по второму закону Ньютона, как если бы к ней была приложена равнодействующая всех внешних сил.

Следствие: Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то ускорение центра масс равно нулю, а, следовательно, скорость центра масс является постоянной по модулю и направлению. Имеем, что центр масс движется прямолинейно и равномерно по инерции или находится в покое.

Лекция 13 (динамика)

«Теорема об изменении кинетического момента.

Движение точки под действием центральной силы, законы Кеплера.

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела »

Теорема об изменении кинетического момента Кинетический момент точки и системы

Для материальной точки массой m, движущейся со скоростью , кинетическим моментом (момент количества движения, момент импульса) относительно какого-либо центра О, называют момент количества движения точки относительно этого центра О, т.е.

К инетический момент приложен к точке, относительно которой он вычисляется. В проекциях на оси координат имеем

[K] = кг м²/ с

Для механической системы кинетическим моментом (главным моментом количества движения системы относительно какой-либо точки О) называют векторную сумму кинетических моментов точек этой системы, взятых относительно точки О,

Этот вектор момента приложен к точке О.

Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела

Вычислим кинетический момент твердого тела, совершающего вращение вокруг оси z.

вектор скорости точки перпендикулярен h _k.

Следовательно, для одной точки

Для всего тела

Теорема об изменении кинетического момента точки

Преобразуем уравнение движения точки в виде второго закона Ньютона:

Преобразуем левую часть по формуле производной от векторного произведения

, но

Тогда получаем

Окончательно: первая производная по времени от кинетического момента точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра.

Теорема об изменении кинетического момента системы точек

Для каждой точки

Умножим векторно последнее соотношение на радиус-вектор точки:

После суммирования по всем точкам системы

имеем:

Законы сохранения кинетического момента получаем как частный случай закона изменения:

1. Если момент внешних сил равен нулю , то кинетический момент системы сохраняется

2. Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно оси Ох равна нулю, то проекция кинетического момента на эту ось сохраняется . Пример: скамья Жуковского