Общие теоремы динамики системы Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс Количество движения точки и системы

Количеством движения материальной точки называют вектор, равный произведению массы точки на ее скорость, т.е.

Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки. Проекции количества движения точки на декартовы оси координат

Количеством движения системы называют векторную сумму количеств движения отдельных точек системы, т.е.

Вектор количества движения системы в отличие от вектора количества движения точки не имеет точки приложения. Вектор количества движения точки считается приложенным к самой движущейся точке, а вектор количества движения системы является свободным вектором.

Количество движения системы можно выразить через массу системы и скорость центра масс

если масса системы не изменяется при движении.

Элементарный и полный импульс силы

Действие силы на материальную точку в течение времени dt можно охарактеризовать так называемым элементарным импульсом силы . Полный импульс силы за время t , или импульс силы определяют по формуле

Теорема об изменении количества движения точки

Дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием силы можно представить в следующей векторной форме:

Так как масса точки считается постоянной, то ее можно внести под знак производной. Тогда

Эта формула выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: первая производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе. (Причиной изменения количества движения точки является сила).

В проекциях на оси координат теорема записывается следующим образом:

Если обе части теоремы умножить на dt, то получим другую форму этой же теоремы

т.е. дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.

Интегрируя обе части в пределах от нуля до t, имеем:

где -скорость точки в момент t, -скорость при t=0, -импульс силы за время t.

Это выражение часто называют теоремой импульсов в конечной (или интегральной) форме: изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за тот же промежуток времени.

Для материальной точки теорема об изменении количества движения в любой из форм, по существу, не отличается от дифференциальных уравнений движения точки.

Теорема об изменении количества движения системы

Для каждой точки системы, находящейся под действием внешних и внутренних сил, имеем:

Проведя суммирование по всем точкам системы получим:

используя свойства внутренних сил системы и определение количества движения системы

окончательно имеем:

Теорема об изменении количества движения системы: производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

В другой форме теорема выглядит так:

Дифференциал количества движения системы равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему.

Теоремы импульсов в конечной (интегральной) форме:

Изменение количества движения системы за какое-либо время равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему за то же время.