- •§1. Системы любых уравнений: определения, геометрическая трактовка, равносильность, основные методы решения
- •§2. Некоторые приёмы решения систем нелинейных уравнений
- •1. Исключение одной неизвестной в простейшем случае, когда в системе есть линейное уравнение
- •2. Преобразование системы с целью получить линейное уравнение.
- •3. Введение вспомогательной неизвестной (частичная замена неизвестных)
- •4. Полная замена неизвестных
- •5. Симметричные системы
- •6. Использование однородного уравнения в системе
- •7. Графическое решение систем с целью определения количества решений
7. Графическое решение систем с целью определения количества решений
ПРИМЕР
Определим количество решений системы
в зависимости от значений параметра а.
Решение
Выполним графическую интерпретацию уравнений данной системы:
первому уравнению геометрически соответствует окружность радиуса с центром в начале координат, второму уравнению системы соответствует пара параллельных прямых. Все возможные случаи взаимного расположения графиков уравнений этой системы можно разделить на следующие три группы:
1) :
|
2) , где
|
3) :
|
Ответ: данная система имеет:
|
УПРАЖНЕНИЯ
Задача 1
Решите следующие системы уравнений:
Системы |
Ответы |
1. |
, . |
2. |
, , , , , . |
3.
|
, . |
4.
|
, , , , , , , , . |
5.
|
, . |
6.
|
, , , . |
7.
|
, |
8.
|
, |
9.
|
, |
10.
|
|
11.
|
, , , |
12. |
|
13.
|
, |
14.
|
, , , указание: решить одно уравнение относительно х |
15.
|
, указание: |
16. Найти . |
20 |
17. Найти . |
-7 |
18. Найти . |
3 |
19.
|
, |
20.
|
, |
21.
|
|
22. .
|
, , , |
23.
|
, |
24.
|
|
25.
|
, указание: рассмотреть разность уравнений |
26.
|
,
|
27.
|
, , , , указание: рассмотреть разность уравнений |
28.
|
, , указание: разделить уравнения друг на друга. |
29. |
, указание: , графики уравнений.
|
30. |
. Указание. , графики уравнений. |
31.
|
|
32. |
, , |
33. . Найти пары значений . |
, . Указание. Заменить . |
Задача 2
Определите количество решений каждой из систем:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8) .
Ответы: 1) 4, 2) 2, 3) 1, 4)0,
5)
|
6)
0, если
;
1, если
; 2, если
. |
||||
7)
1, если
и
;
,
если
или
.
|
8)
0при
;
4 при
; 8 при
. |