5. Симметричные системы
Симметричными называются системы, в которых есть симметрия по неизвестным х и у, то есть система не изменяется, если в ней х заменить на у, а у заменить на х.
Для таких систем рекомендуется специальная замена неизвестных:
.
ПРИМЕР
Решим систему уравнений
.
Решение
Данная система является симметричной по х и у, так как при замене х на у, а у на х ни первое, ни второе уравнения системы не изменяются. Используем рекомендуемую замену:
.
Тогда в данной системе происходит полная замена неизвестных и получается система, равносильная данной , относительно неизвестных u,v:
Система
имеет два решения.
Проверка:
Заметим, что решения симметричных систем тоже являются симметричными.
Ответ:
,
.
6. Использование однородного уравнения в системе
Выражение
называется
однородным по х и у, если оно
представляет собой многочлен, в каждое
слагаемое которого входят только целые
неотрицательные степени переменных х
и у и их суммарная степень одна и та
же во всех слагаемых.
Например, однородными являются следующие
многочлены:
.
Уравнение называется однородным,
если оно имеет вид
,
в котором
– это однородное выражение по х и
у.
Например, однородными являются следующие
уравнения:
,
,
.
Однородное уравнение всегда имеет
тривиальное решение
.
Другие его решения можно найти, если в этом уравнении перейти к отношению неизвестных делением обеих частей равенства на у2.
ПРИМЕРЫ
1. Решим систему
.
Решение
Первое уравнение системы является однородным по неизвестным х и у.
Поработаем с ним отдельно, записав сначала его тривиальное решение, а затем разделив обе части уравнения на :
,
переходом к отношению неизвестных
получили квадратное уравнение относительно
этого отношения
;
решаем это квадратное уравнение:
,
.
Возвращаемся в исходную систему, используя результаты работы с однородным уравнением:
Всего система имеет четыре решения, которые подтверждаем проверкой, подставляя каждое решение в исходную систему.
Проверка:
Ответ:
,
,
,
.
2. Решим систему
.
Решение
В данной системе можно получить однородное уравнение, если алгебраическим сложением уравнений получить уравнение с правой частью, равной нулю:
– однородное уравнение.
Чтобы в пару к однородному уравнению получить более простое уравнение, сделаем ещё одно алгебраическое сложение уравнений с целью исключить произведение ху:
.
В результате данная система заменится на равносильную систему, в которой есть однородное уравнение:
.
Тривиальное решение однородного уравнения второму уравнению системы не удовлетворяет, поэтому это тривиальное решение можно не рассматривать, а перейти в однородном уравнении сразу к отношению делением обеих частей уравнения на .
В результате вновь получаем систему, равносильную данной:
Система имеет 4 решения, подтверждаемых проверкой.
Ответ:
,
,
,
.