III. Численное моделирование экспериментов по столкновению

При столкновении импульс распределяется по всему шару-мишени. В случае небольших объектов, таких, как шары в наших численных экспериментах, на такое распределение уходит значительно меньше времени, чем на передачу импульса от одного шара другому. Иными словами, «пружина», по которой импульс «перетекает» с одного шара к другому, представляет собой «узкое место» для передачи импульса. Время столкновения велико по сравнению с периодом, соответствующим низшей частоте собственных колебаний шара, т. е. по сравнению с временем прохождения упругих волн через шар. Единственная собственная частота, которая будет эффективно возбуждаться при столкновении, — это «нулевая собственная частота», соответствующая поступательному движению шара. Следовательно, шары, составляющие цепочку, можно рассматривать как точечные массы.

Учитывая эти замечания, представим себе цепочку, состоящую из n взаимодействующих материальных точек (шаров) каждая массой т, связанных друг с другом n-1 пружинами. Для каждой пружины можно написать следующее соотношение, определяющее связь между силой и растяжением пружины по сравнению с ее равновесной длиной:

(3)

где — смещение i-й точечной массы из своего положения равновесия. Такая цепочка из точечных масс и пружин описывается следующей системой n дифференциальных уравнений:

(4)

Показатель степени r можно менять от одного численного эксперимента к другому. Для пружин Гука задаем r=1, а для пружин Герца r=3/2. Однако при моделировании на ЭВМ рассматривались и другие значения r. Чтобы получить согласие с экспериментами, описанными в разд. IV, мы выбрали m = 0,512 кг и k = 1,638·10¹⁰ Н/м³/². Величина k определяется выражением [3, с. 50, формула (9.14)]

где R — радиус шара, — коэффициент Пуассона и Е — модуль Юнга, характеризующие вещество шара. В системе уравнений (4) не учитывается то, что взаи­модействие между соседними шарами «выключается», если . Однако это условие вводилось в машинную программу.

ЭВМ вычисляла и строила графики зависимости от времени таких величин, как

• смещение каждого шара из своего положения равновесия;

• импульс каждого шара;

• сила, действующая со стороны каждого шара на следующим.

Результаты этих вычислений, представленные на рис. 3—5, получены в предположении, что в цепочке происходит столкновение одного налетающего шара с четырьмя покоящимися шарами. Скорость налетающего шара непосредственно перед столкновением выбиралась равной 0,443 м/с. Это соответствует начальному вертикальному смещению налетающего шара от его равновесного положения, равному 1 см.

На рис. 3 приведены результаты численного моделирования для случая r = 1,0, т. е. для закона Гука. Как и следовало ожидать, дисперсия играет здесь существенную роль. Это можно заметить на всех трех графиках, представленных на рис. 3. На верхних двух видно, что после столкновения все шары находятся в движении, причем первые три шара движутся назад, а четвертый и последний (пятый) — вперед. Импульс четвертого шара после столкновения составляет около; 29% импульса налетающего шара, который он имел перед первым столкновением (а не 0%, как можно было бы ожидать). Кривые на рис. 3, в дают достаточно ясное представление о дисперсии, имеющейся, при передаче энергии импульса через цепочку. Согласно второму закону Ньютона, сила пропорциональна скорости изменения импульса. Таким образом, из рис. 3, в следует, что обмен импульсом между первым и вторым шарами происходит за меньший промежуток времени, чем обмен импульсами между каждой сле­дующей парой шаров.

На рис. 4 представлены соответствующие кривые для случая, когда точечные массы связаны пружинами Герца. Мы видим, что здесь дисперсия меньше по сравнению с предыдущим случаем. После столкновения импульс четвертого шара составляет не более чем 12% начального импульса налетающего шара. Кривые на рис. 4, в проявляют между собой больше сходства, чем аналогичные кривые на рис. 3, в, и все же мы не можем утверждать, что в случае рис. 4 дисперсия пренебрежимо мала.

Рис. 3. Результаты численного моделирования эксперимента по столкновению для цепочки из одного налетающего и четырех покоящихся шаров. Показатель степени r в выражении (3) равен 1,0. а — смещение каждого шара из положения равновесия как функция времени (каждая кривая соответствует конкретному шару, что отмечено на рис. б цифрами; шар 1 — налетающий, шар 2 — следующий по порядку и т. д.); б — импульс каждого шара в зависимости от времени; в — сила, действующая со стороны каждого шара на следующий, как функция времени;

1-й шар на 2-й (– – – –), 2-й шар на 3-й (– – ∙– –), 3-й шар на 4-й (–∙–∙–), 4-й шар на 5-й (–∙∙∙–∙∙∙).

33

Поэтому нами были проведены численные эксперименты для случаев, когда в соотношении между силой и смещением показатель степени r превышает значение 1,5. Мы нашли, что при дисперсия почти полностью отсутствует. На рис. 5 приведены соответствующие кривые при .

Какой вывод можно сделать из полученных результатов? Согласуется ли закон Герца с экспериментами? Соответствует ли поведение реальных шаров с r > 1,5? Для определения истинного значения провели реальный эксперимент.