- •Методические указания
- •Методические указания
- •Теоретические вопросы
- •Задание №1
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Задание №2
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Задание № 6 Пример 8. Найти ранг матрицы .
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Задание №7
- •Задание № 10
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Задание № 11
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Задание № 12
- •Примеры для самостоятельной работы
- •Список литературы
Задание № 10
Пример 13. Решить систему уравнений методом Гаусса
.
Решение. Определив первое уравнение разрешающим, перепишем систему:
.
Умножим уравнение (а) на (-2) и прибавим к уравнению (б). Имеем:
.
Уравнение (а) умножим на (-7) и сложим с уравнением (в) Получим:
.
Составим систему уравнений: .
Умножим уравнение (г) на (-3) и сложим с уравнением (д). В итоге получим: ;
;
.
Пример 14. Решить систему методом Жордана – Гаусса:
.
Решение. Составим расчетную таблицу, элементы которой на каждом этапе вычислений определим по правилу прямоугольника.
Правило для нахождения элементов преобразований системы, не принадлежащих разрешающим столбцу или строке, называют правилом прямоугольника.
aij |
|
aik |
|
aik |
|
bi |
|
|
|
|
|
|
|
alj |
|
alk |
|
alk |
|
bj |
, . Таким образом, имеем следующий алгоритм преобразований:
элементы разрешающей строки получаются из соответствующих элементов прежней строки делением на разрешающий элемент;
все элементы разрешающего столбца преобразованной системы, кроме разрешающего, равны нулю;
все остальные элементы пересчитываются по правилу прямоугольника.
Процесс продолжается до тех пор, пока не будут использованы все уравнения системы. При этом возможны случаи.
В процессе исключений левая часть уравнения системы обращается в нуль, а правая часть равна некоторому числу. Это значит, что система не имеет решений, т.к. данному уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных.
Левая и правая части i-го уравнения обращаются в нуль. Это означает, что i-ое уравнение являются линейной комбинацией остальных, ему удовлетворяет любое найденное решение системы, поэтому оно может быть отброшено.
После ряда преобразований, если число неизвестных равно числу уравнений, то система имеет единственное решение.
- контрольный столбец, над элементами которого проводятся те же преобразования, что и над остальными элементами таблицы, при этом сумма элементов строки должна быть равна элементу контрольного столбца той же строки.
Выберем в качестве разрешающего элемента а22 = 1. Элементы второго столбца (разрешающего) равны нулю в новой таблице, кроме а’22 = 1. остальные элементы пересчитываем по правилу прямоугольника.
,
,
Аналогично вычисляем последующие элементы.
п/п |
x1 |
x2 |
x3 |
своб. члены |
|
I |
2 |
-3 |
2 |
11 |
12 |
-3 |
1 |
-5 |
-19 |
-26 |
|
4 |
5 |
-1 |
-4 |
4 |
|
II |
-7 |
0 |
-13 |
-46 |
-66 |
-3 |
1 |
-5 |
-19 |
-26 |
|
19 |
0 |
24 |
91 |
134 |
|
III |
1 |
0 |
13/7 |
46/7 |
66/7 |
0 |
1 |
4/7 |
5/7 |
16/7 |
|
0 |
0 |
-79/7 |
-237/7 |
-316/7 |
|
IV |
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
3 |
4 |
Из последней таблицы получаем х1 = 1, х2 = – 1, х3 = 3.