Примеры для самостоятельной работы
Найти обратную матрицу для матрицы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задание № 6 Пример 8. Найти ранг матрицы .
Решение. Прибавим к четвертому столбцу первый, умноженный на (-4), затем вычеркнем 4 столбец, состоящий из нулей.
.
Вычислим минор третьего порядка:
.
Следовательно, r(А)=3.
Примеры для самостоятельной работы
Найти ранг матрицы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задание №7
Пример 9. Проверить совместность
системы:
.
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид
.
Переставим первый и третий столбцы
.
Прибавим элементы первого столбца, умноженные на 2, к элементам 3-го и 4-го столбцов, а из второго вычтем первый столбец:
.
Вычеркнем второй столбец, так как его
элементы пропорциональны соответствующим
элементам третьего столбца. Элементы
третьего столбца умножим на 2 и
прибавим к элементам 4-го:
.
Очевидно, что ранг основной матрицы
этой системы r(А)=2,
так как минор второго порядка
.
Ранг расширенной матрицы r(В)=3,
так как
.
Таким образом, r(А)=2, r(В)=3, то есть r(А)r(В), поэтому система несовместна.
Пример №10. Исследовать систему
уравнений:
.
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований:
.
Очевидно, что r(А)=r(В)=2. По теореме Кронекера-Капелли система совместна.
Запишем первое и второе уравнения заданной системы:
За базисные неизвестные примем х1
и х2, так как определитель
из коэффициентов при этих неизвестных
отличен от нуля. Свободным неизвестным
служит х3. Переписав систему
в виде
выразим х1 и х2 через х3:
,
.
Полагая х3 = u, получим решение системы в виде
,
,
.
Придавая u различные числовые значения, будем получать различные решения данной системы уравнений.
Примеры для самостоятельной работы
Исследовать систему уравнений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задание № 8
Пример 11. Решить методом Крамера систему уравнений
.
Решение. Вычислим определитель системы
.
Следовательно, система имеет единственное решение. Найдем х1, х2, х3.
Определим решение системы уравнений по формулам Крамера:
Примеры для самостоятельной работы
Решить систему уравнений по правилу Крамера:
1.
2.
3.
26.
27.
Задание № 9
Пример 12. Решить систему уравнений матричным методом
.
Решение. Представим данную систему в виде матричного уравнения
,
где
.
Найдем А-1. Решение матричного
уравнения имеет вид А-1В=Х.
Вычислим
.
Так как detА0, то матрица А имеет обратную, которая была найдена в примере №7.
.
Вычислим матрицу Х:
или х = 2,55, y = – 0,75, z = – 0,85.
Примеры для самостоятельной работы
Решить систему уравнений матричным методом:
1.
2.
26.
27.
28.
