Раздел 4. Непрерывные случайные величины (нсв)

94. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей

0 , если х 2,

F (x) = (х - 2)2, если 2 < х 3,

1, если х > 3.

Найти плотность вероятности f(x) и вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).

95. П лотность вероятности непрерывной случайной величины X

0, если х 1,

F (x) = (х – 1/2), если 1 < х 2,

0, если х > 2.

Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

96. С лучайная величина X имеет плотность вероятности

0, если х 0,

F (x) = ½ sin x, если 0 < х ,

0, если х >.

Найти функцию распределения вероятностей и построить график.

97. Случайная величина X имеет плотность вероятности

0 , если х 1,

f(x) = 1/3 (х – 1/2), если 1 < х 3,

0, если х > 3.

Найти функцию распределения вероятностей и построить график.

98. Случайная величина X имеет плотность вероятности

0 , если х 0,

f(x) = sin x , если 0 < х

1, если х > .

Найти функцию распределения вероятностей и построить график.

99. Случайная величина X имеет плотность вероятности

0 , если х 0,

f(x) = cos x , если 0 < х

1, если х > .

Найти функцию распределения вероятностей и построить график.

100. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана в виде f(x) = 2С/(1 + х2). Найти параметр С.

101. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана в интервале (0; /4) функцией f(х) = С sin 4x.Вне этого интервала f(х) = 0. Найти параметр С.

102. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана в интервале ( - /2; /2) функцией f(х) = С cos х. Вне этого интервала f(х) = 0. Найти параметр С и определить вероятность попадания случайной величины X в интервал (0; /4).

103. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(х) = х/2 в интервале (0; 2), вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X

104. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(х) = х/8 в интервале (0; 4). Вне этого интервала f(х) = 0. Найти математическое ожидание.

105. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = С(х² + 2х) в интервале (0; 1). Вне этого интервала f(x) = 0. Найти параметр С.

106. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(х) = а/(1 + х²) при - < х < . Определить параметр а и математическое ожидание.

107. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = - ¾ x2 + 6 *x – 45/4 — на интервале (3; 5). Вне этого интервала f(х) = 0. Найти моду, медиану и математическое ожидание.

Указание. Для нахождения моды можно использовать необходимое и достаточные условия экстремума функции. Для нахождения медианы нужно учесть симметричность параболы относительно ее оси.

108. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = - ¾ x2 + 9/2 *x - 6 в интервале (2; 4). Вне этого интервала f(х) = 0. Найти моду, медиану и математическое ожидание.

109. Случайная величина X задана в интервале (0; ) плотностью вероятности f(х) = ½ sin x, вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию величины X.

110. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = 0,25 sin (х/2) на интервале (0; 2 ). Вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию величины X.

111. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = 0,5 cos х на интервале (- /2; /2). Вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию величины X.

112. Найти математическое ожидание случайной величины Х, заданной функцией распределения

0 , если х 0,

F (x) = х/4 , если 0 < х 4,

1, если х > 4.

113. Найти математическое ожидание случайной величины Х, заданной функцией распределения

0 , если х -1,

F (x) = 3х , если -1 < х 3,

1, если х > 3.

114. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1; 6]. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины.

115. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0; 4]. Найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины X.

116. Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 мин. Считая, что случайная величина X — время ожидания автобуса — распределена равномерно, найти среднее время ожидания (математическое ожидание) и среднее квадратичное отклонение случайной величины.

117. Для условия предыдущей задачи найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

118. Паром для перевозки автомашин через залив подходит к причалу через каждые два часа. Считая, что время прибытия автомашин — случайная величина X — распределено равномерно, определить среднее время ожидания автомашиной прихода парома и дисперсию времени ожидания.

119. Ц ена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

120. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

121. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20с.

122. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно Мх =5, дисперсия равна Dx = 9. Написать выражение для плотности вероятности.

123. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 12 и 2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (14; 16).

124. Имеется случайная величина X, распределенная по нормальному закону, математическое ожидание которой равно 20, среднее квадратичное отклонение равно 3. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью р = 0,9972 попадет случайная величина.

125. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 15, и средним квадратичным отклонением, равным 2. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0,954 попадет случайная величина.

126. Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратичное отклонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятностью 0,98.

127. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины — количества сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, — равно 1 кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1100 г. Определить среднее квадратичное отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.

128. При измерении нормально распределенной случайной величины оказалось, что ее среднее квадратичное отклонение равно 10, а вероятность попадания этой величины в интервал от 100 до 140, симметричный относительно математического ожидания, равна 0,86. Найти математическое ожидание этой величины и вероятность попадания ее в интервал от 90 до 150.

129. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей

0, если х 0,

, если х > 0

Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х.

130. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей

0, если х 0,

, если х > 0

Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение СВ Х.

131. Найти вероятность попадания случайной величины t, имеющей показательное распределение

0, если t 0,

f(t) = , если t > 0,

в интервал (4; 10).

132. Найти вероятность попадания случайной величины X с показательным распределением, приведенным в задаче 130, в интервал (2; 5).