- •Понятие матрицы. Виды записи.
- •Классификация матриц.
- •Действия с матрицами. Свойства. Сложение и вычитание.
- •Умножение на число.
- •Произведение матриц.
- •Определители. Свойства определителей. Определители 2-го порядка.
- •Определители 3-го порядка.
- •Невырожденные матрицы. Обратная матрица.
- •Ранг матрицы.
- •Вычисление ранга по определению.
- •Элементарные преобразования.
- •Собственные числа. Собственные векторы матрицы.
- •Некоторые приложения в экономике собственных чисел и собственных векторов матрицы.
- •Линейные модели обмена.
- •Модель международной торговли
- •Решение.
- •Индивидуальные задания.
- •Варианты.
- •Варианты.
- •Содержание
Невырожденные матрицы. Обратная матрица.
Пусть А – квадратная матрица n-го порядка
А= .
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель не равен нулю, в противном случае ( ) матрица А называется вырожденной.
Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица
А =
где А - алгебраическое дополнение элемента данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).
Обратная матрица
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратной матрицы.
Матрица называется обратной матрице А, если выполняется условие
,
где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица имеет те же размеры, что и матрица А.
Теорема1: Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Теорема2: Матрица где А - алгебраическое дополнение элемента невырожденной матрицы А, является обратной для матрицы А.
Алгоритм нахождения обратной матрицы.
Найти определитель матрицы А.
Найти алгебраические дополнения А всех элементов матрицы А и составить матрицу А , элементами которой являются алгебраические дополнения А .
Найти матрицу, транспонированную полученной матрице А , и умножить её на - это и будет = .
Сделать проверку: .
Свойства обратной матрицы.
1.
2.
3.
Пример 6: Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку.
Определитель , следовательно матрица А невырожденная и обратная для неё матрица существует.
Составляем матрицу .
.
Отсюда, матрица
Проверка:
Ранг матрицы.
Вычисление ранга по определению.
Пусть дана матрица А размера
А= .
В матрице А размера вычёркиванием каких – либо строк и столбцов можно выделить квадратные подматрицы к-го порядка, где Определители таких подматриц называются минорами к-го порядка матрицы А.
Например, из матрицы можно получить подматрицы первого, второго и третьего порядков.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Ранг матрицы А обозначается: rang A, или r(A).
Из определения следует:
ранг матрицы не превосходит меньшего из её размеров, т.е.
r(A)=0тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А нулевая матрица;
для квадратной матрицы n-го порядка r(A)= n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.
Пример 7 :Вычислить ранг матрицы
Матрица А имеет четвёртый порядок, поэтому . Однако , так как матрица А содержит нулевой столбец, поэтому .Все подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец и поэтому имеют нулевые определители, значит Все подматрицы второго порядка либо имеют нулевой столбец (второй или четвёртый), либо имеют пропорциональные столбцы (первый и третий), поэтому тоже имеют нулевые определители; таким образом Поскольку матрица А содержит не нулевые элементы, т.е. невырожденные подматрицы первого порядка, то .
Пример 8: Вычислить ранг матрицы
Для матрицы
Проверим равен ли ранг 3-м, для этого вычислим все миноры третьего порядка, т.е. определители всех подматриц третьего порядка (их всего 4, они получаются при вычёркивании одного из столбцов матрицы):
Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, Так как существует не нулевой минор второго порядка, например,
то
В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоёмко. Для облегчения этой задачи используют преобразования, сохраняющие ранг матрицы.
Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Обозначается А~В.
Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.