6. Задание на дом.

6.1. Практика:

6.1.1. Найти интегралы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. 

Теория.

1. Лекция по теме «Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Приложение определенного интеграла к решению прикладных задач».

2. Занятие 5 данного методического пособия.

3. Павлушков И.В. и другие стр. 157-177.

Определенный интеграл и его основные свойства. Приложения определенного интеграла.

Актуальность темы: понятие определенного интеграла широко используется в математике и других науках для вычисления площадей плоских фигур, работы переменной силы и т.п.

Цель занятия: освоить методы вычисления определенного интеграла, решения прикладных задач.

Целевые задачи:

знать: понятие определенного интеграла, свойства определенного интеграл, формулу Ньютона-Лейбница, определенный интеграл с переменным верхним пределом;

уметь: вычислять определенный интеграл, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница; применять методы интегрирования для вычисления определенного интеграла, решения прикладных задач.

Краткие сведения из теоретического курса.

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a, b], a<b. Выполним следующие действия: разобьем отрезок [a, b] точками а=х₀,х₁…,х_n=b (х₀<х₁<…<х_n) на n частичных отрезков [x₀, x₁], [x₁, x₂],… [x_n-1, x_n]; в каждом частичном отрезке [x_i-1, x_i] возьмем произвольную точку с_i и вычислим f(c_i); умножим f(c_i) на длину соответствующего частичного отрезка x_i=x_i–x_i-1: f(c_i)x_i и составим сумму всех таких произведений. Сумма всех таких произведений называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a, b]. Найдем предел интегральной суммы, когда n ∞ или maxx_i0.

Если при этом интегральная сумма имеет предел I, который не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора в них, то число I называют определенным интегралом и обозначается .

Таким образом, .

Числа а и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – подынтегральной функцией, отрезок [a, b] – областью (отрезком) интегрирования.

Функция у= f(x), для которой на отрезке [a, b] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: .

3. .

4. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то , т. е. постоянный множитель с можно вынести за знак определенного интеграла.

5. Если функции f₁(x) и f₂(x) интегрируемы на [a, b], тогда

, т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

6. Свойство аддитивности. Если f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и a<c<b, то , т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка.