Занятие 2.Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Применение производных к решению прикладных задач

Актуальность темы: дифференциал функции используется при приближенных вычислениях приращений функции и значений функции. Производные и дифференциалы высших порядков имеют широкое применение при решении многих прикладных задач физики и химии.

Цель занятия: выработать навыки нахождения дифференциала функции одной переменной, производных и дифференциалов высших порядков

Целевые задачи:

знать: понятие дифференциала функции, геометрический и аналитический смысл дифференциала, свойства дифференциала, формулы приближенных вычислений, понятие о производных и дифференциалах функции, физический смысл производной второго порядка;

уметь: находить дифференциалы функций одной переменной, использовать свойства дифференциалов, находить производные и дифференциалы функций одной переменной, решать прикладные задачи.

Краткие сведения из теоретического курса

Дифференциал функции

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента: .

Аналитический смысл дифференциала функции заключается в том, что дифференциал функции, есть главная часть приращения функции f. Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем x. Действительно, или .

Свойства дифференциала функции:

1) дифференциал постоянной: ;

2) дифференциал суммы. ;

3) дифференциал произведения. ;

4) дифференциал частного. ;

5) дифференциал сложной функции. Дифференциал сложной функции (функции от функции) равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента(при условии, что обе функции дифференцируемы): , где и функции – дифференцируемые функции своего аргумента.

Геометрический смысл дифференциала функции

Дифференциал функции y=f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение Δх (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Равенство позволяет с большой точностью вычислять приближенно приращение любой дифференцируемой функции; формула используется для вычисления приближенных значений функций.

Производные высших порядков

Производная функции есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается или . Итак, .

Производной n –го порядка или n-ой производной называется производная от производной (n-1) порядка: .Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = f(t). Как уже известно, производная S_t’ равна скорости точки в данный момент времени: S_t’= V.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t +t – скорость равна V + V, т. е. за промежуток времени t скорость изменилась на величину V.

Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время t. Предел этого отношения при t 0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой а: Итак, вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т. е. .