Тема 7: переходные процессы в линейных

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Переходными называют процессы возникающие в электрической цепи при переходе из одного установившегося режима работы в другой.

Переходные процессы возникают в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, т. е. при действии различного рода коммутационной аппаратуры, на пример ключей, переключателей для включения или отключения источника или приемника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Основной характеристикой переходных процессов является временная переходная функция показывающая изменение величин напряжения и тока во времени, представляемая графически (например рис. 7.1) или аналитически.

По этой характеристике определяются: характер, время, превышения (броски)

напряжения и тока, и другие параметры переходных процессов.

Характер переходных процессов определяется параметрами (r, L, C) элемен- тов цепи и схемой их соединения, и может быть монотонным (апериодическим) или колебательным (периодическим), например рис. 7.1.

Рис. 7.1

Время переходного процесса – это время за которое значения u, i достигают

0.95-1.05 установившегося значения.

Превышение (бросок) – это максимальное отклонение значения u, I от уста- новившегося значения.

Время коммутации (замыкания или размыкания контактов выключателей, реле, и т. п. ) считается бесконечно малым ( tK = 0 ).

Отметим, что физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации в цепи. На этом же основываются законы коммутации.

Законы коммутации утверждают, что ток в индуктивном элементе инапряжение на емкостном элементе не могут изменяться скачком.

Так как невозможно, чтобы средняя мощность изменения энергии магнитного поля индуктивного элемента Wм / t = L iL² / 2 t при t = tK = 0 была бесконечно большой, то невозможно скачкообразное изменение тока iL.

Таким образом - ток в индуктивности после коммутации iL (t +) равен току до коммутации iL (t -):

iL (t +) = iL (t -) (7.1)

Аналогично для напряжения на емкостном элементе. Так как невозможно, чтобы средняя мощность изменения энергии электрического поля емкостного элемента WЭ / t = C uC² / 2 t при t = tK = 0 была бесконечно большой, то невозможно скачкообразное изменение напряжения uC.

Таким образом - напряжение на емкости после коммутации uC (t +) равено напряжению до коммутации uC (t -):

uC (t +) = uC (t -) (7.2)

Токи в индуктивных элементах iL (t -) и напряжения на емкостных эле- ментах uC (t -) непосредственно перед коммутацией называются начальными условиями.

Если токи в индуктивных и напряжения на емкостных элементах цепи в момент времени t - равны нулю, т. е. iL (t -) = 0, uC (t -) = 0, то эти условия называются нулевыми начальными условиями. В противном случае получаются ненулевые начальные условия.

Важными особенностями переходных процессов являются:

- опасные превышения напряжения и искрообразование при размыкании цепи содержащей значительные индуктивности;

- опасные броски тока при замыкании цепи содержащей емкости;

Важным является и длительность ( время ) переходного процесса.

Все это вызывает необходимость исследования, расчетов и определение характеристик переходных процессов в электрических цепях. Это производится

экспериментально с помощью осциллографа или аналитически с помощью математических методов расчета.

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Величины тока и напряжения при переходном процессе являются временными функциями и описывается в линейной цепи линейными дифференциальными уравнениями. Поэтому расчет обычно сводится к определению выражений напряжений и токов как функции времени получаемых при решении этих дифференциальных уравнений.

Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными пара- метрами разработаны различные аналитические методы: классический, операторный, метод интеграла Фурье и др., которые применяются и для расчета переходных процессов. Ограничимся применением классического и операторного методов. Первый обладает физической наглядностью и удобен для расчета простых цепей, а второй упрощает расчет сложных цепей.

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Название метода "классический" отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами медами класси- ческой математики.

Расчет переходного процесса в цепи классическим методом содержит Следующие этапы.

1. Прежде всего необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т. д., описывающих состо- яние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения. Для простых цепей получается диффе- ренциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качес- тве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

2. Далее следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения. Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима обозначают iу и uу и называют установившимися (принужденными).

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса обозначают iсв и uсв и называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения. Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следующий за коммутацией. Энергия элементов не может измениться скачком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.

3. Наконец, в общем решении i = iу + iсв, u = uу + uсв следует найти постоянные интегрирования. Постоянные интегрирования определяют из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации. Будем считать коммутационные ключи идеальными, т. е. что коммутация и заданный момент времени t происходит мгно- венно. При таких коммутациях ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе в начальный момент времени после коммутации t + такие же, как в момент времени, непосредственно перед коммутаций t _. Эти условия получаются из законов коммутации.

Пример расчета переходного процесса классическим методом.

В электрической цепи (рис. 7.2) определить выражение для тока в индуктивности i_L(t) при переходном процессе

Рис. 7.2.

1. Определим независимые начальные условия

u_c(0)=0, так как сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю.

2. Определим величину установившегося (принужденного) тока для после коммутационной цепи

3. Составим и решим характеристическое уравнение

4. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, следовательно функция свободного тока имеет вид:

где:  - коэффициент затухания;  - собственная угловая частота колебатель- ного процесса; А и φ - постоянными интегрирования уравнения.

5. Составим систему уравнений для определения постоянных интегрирования

6. Независимые начальные условия

Решим систему (5.) для t = 0 и определим А и φ

7. Искомая величина тока

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Операторный метод не обладает физической наглядностью в силу глубокой математической формализации, но в ряде случаев упростить расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной времени t в область функций комплек- сного переменной p в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические. Такое преобразование называется прямым. Полученное решение алгебраических уравнений обратным преобразованием переносится в область действительного переменного. Строгое обоснование метода дается в курсе математики. Познакомимся с техникой применения операторного метода.

Для прямого преобразования функций времени f(t) применяется преоб-разование Лапласа

(7.3)

то сокращенно записывается так:

F(p) = L[f(t)] (7.4)

где- функция времени f(t) - однозначная, называемая оригиналом опре- деленная при t > 0, интегрируемая в интервале времени 0 - °° и равная нулю при t < 0; F(p) - функция комплексного переменно p = + j при

Rep = а > 0, называемая Лапласовым изображением.

Примем, что начало переходного процесса в цепи соответствует моменту времени t = 0. Преобразование (7.3) позволяет получить соотношения между напряжением u(t) = u и током i(t) = i в операторной форме для резистив- ного, индуктивного и емкостного элементов.

Изображение напряжения на резистивном элементе ur (t) = ri(t)

Ur (p)= r i(p) (7.5)

Выражение (7.5) называется законом Ома в операторной форме для резис-

тивного элемента.

Изображение напряжения ul = L di/dt на индуктивном элементе

UL (p) = -Li(o) + pLI(p) (7.6)

Где i(0) =i(0_) =i(0₊) - ток в индуктивном элементе в момент коммутации t = 0, учитывающий начальные условия (7.1).

Аналогично определяем изображение напряжения на емкостном элементе:

UC (p) = u (0)/p + I(p)/(pC) (7.7)

Если начальные условия нулевые, т. е. iL (0_ ) =0 и u_с(0_) = 0 то выражения (7.6) и (7.7) примут вид закона Ома в операторной форме для индуктивного элемента

UL (p) = pLI(p) (7.8)

для емкостного элемента

UC (p) = I(p)/(pC) (7.9)

где pL и 1/(pC) - сопротивления индуктивного и емкостного элементов.

В оспользовавшись линейностью преобразования Лапласа для суммы токов в любом узле цепи получим первый закон Кирхгофа

(7.10)

Аналогично получается и второй закон Кирхгофа для контура в опера-торной форме:

(7.11)

При расчете переходного процесса операторным методом можно выделить несколько логически самостоятельных этапов :

1. Представить исходные данные о параметрах всех элементов схемы цепи в операторной форме. Это означает, что, во-первых, ЭДС источников напряжения и токи источников тока, заданные мгновенными значениями е (t) и J(t), следует представить соответствующими изображениями Е(р) и J(р), а пассивные элементы – схемами замещения; 2. Для полученной схемы замещения в операторной форме составить и решить полную систему независимых уравнении по (7.11) первому и второму (7.11)

законам Кирхгофа в операторной форе, т. е. найти изображение F(р) искомой величины, например ток I(p);

3. Наиболее часто изображение имеет вид рациональной дроби F(р)= N (p) / M(p),

для которой обратным преобразованием нужно найти оригинал f(t), например ток i(t). Для этого можно воспользоваться теоремой разложения

(7.12)

где N (p), М (р) — многочлены в числителе и знаменателе изображения F(р); М¹(р) - производная многочлена М(р) по р, Pk - корни многочлена М(р)=0, где предполагается, что корни простые. Если получаются кратные корни, то теорема разложения записывается в другой форме..

В качестве примера рассчитаем ток в индуктивности в цепи на рис. 7.3

Рис. 7.3.

1. Составим операторную схему цепи по известным независимым начальным условиям (рис. 7.4).

Рис. 7.4.

2. Составим систему уравнений по законам Кирхгофа

3. Решим систему уравнений методом определителей

4. Перейдем от изображения к оригиналу по теореме разложения

Корни

Аналогично находим для р2 , р3 , а затем:

92