Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло розрахунку VaR є кількісним методом, який моделює майбутні значення змінної за допомогою імітації її поведінки в майбутньому. Цей підхід передбачає застосування генератора випадкових значень, вхідними параметрами якого є розподіл імовірностей, середнє значення часового ряду, що моде­люється, і його середньоквадратичне відхилення. З виходу гене­ратора після кожного його запуску знімаються значення конкрет­ного часового ряду. Зауважимо, що після кожного запуску генератора значення отриманих числових рядів будуть дещо ін­шими, хоча всі вони характеризуються заданим середнім значен­ням та значенням середньоквадратичного відхилення.

Важливість застосування методу Монте-Карло для розрахунку VaR полягає в тому, що на початку аналізу у ризик-менеджера є лише один історичний статистичний часовий ряд значень відпо­відної випадкової величини, що для отримання адекватних висновків про поведінку значень цієї величини у майбутньому мо­же бути недостатнім. Метод Монте-Карло дозволяє розширити базу статистичних даних за допомогою моделювання.

Параметричний (варіаційно-коваріаційний) VaR-метод

Параметричний метод передбачає, що значення часового ряду випадкової величини, що аналізується, апріорі має нормальний розподіл. Таким чином, для подальшого аналізу не­обхідно розрахувати лише дві величини — очікуване (середнє) значення та середньоквадратичне відхилення σ, які повністю характеризують класичний нормальний розподіл. Ці значення розраховуються за формулами:

, (3.4.3)

де — очікуване (середнє) значення;

— похідний ряд значень змін початкових значень , розрахованих за формулами (3.4.1) або (3.4.2); N — кількість значень цього ряду;

(3.4.4)

де σ - середньоквадратичне відхилення.

Знаменник формули (3.4.4) дорівнює N, а не (N-1), оскільки у даному викладі вважаємо ряд значень генеральною, а не вибірковою сукупністю, що важливо для невеликих значень N.

Перевагою параметричного методу є стандартна нормальна форма кривої щільності ймовірності, за якої апріорі відомо, що для обчислення волатильності випадкової величини, яка харак­теризується таким розподілом, з імовірністю 95 % необхідно по­множити стандартне квадратичне відхилення на коефіцієнт 1,65, тоді як з імовірністю 99 % — на коефіцієнт 2,33:

ω(95%) = 1,65 • σ; ω(99%) = 2,33 • σ.

Розраховані за даними прикладу 3.4.1 середнє значення, середньоквадратичне відхилення та значення волатильності будуть такими:

= 0,01; σ = 0,14; ω(95%) = 0,23; ω(99%) = 0,32.

Побудований за такими даними графік нормального розподілу має вигляд (рис. 3.4.2)

Рис. 3.4.2 Графік нормального розподілу ймовірностей

Як бачимо, значення волатильності, обчислене з імовірністю 95% за історичним методом (0,15) і параметричними методом (0,23) дещо різняться через те, що ряд значень, розрахованих для прикладу 3.4.1 за формулою (3.4.2), неадекватно представляє нормальний розподіл.