3. Задачи для самостоятельного решения

Найти указанные значения функций с точностью до 0,01, используя разложения функций в степенные ряды.

.

.

Найти два ненулевых члена разложения в ряд по степеням x функций

.

.

Разложить функцию в ряд по степеням x, используя стандартные разложения (5.4)-(5.8).

.	.
.	.

Разложить функцию в ряд по степеням x.

.

.

11. найти четыре ненулевых члена разложения в ряд по степеням x решения дифференциального уравнения , .

6. Ряды фурье

1. Сведения из теории

Пусть функция ,

1. периодическая с периодом ,

то есть для всех ;

2. ограниченная,

то есть найдется такое число M, что для всех ;

3. кусочно-монотонная

(это означает, что существуют числа такие, что на интервалах , ,…, она монотонна – не возрастает, т.е. , или не убывает, т.е. ).

Тогда в точках непрерывности она разлагается в ряд Фурье

,

где ,

,

.

Физический смысл разложения в ряд Фурье состоит в том, что произвольное периодическое колебание можно представить в виде суммы простейших периодических колебаний – гармонических.

2. Примеры решения задач

1. Разложить в ряд Фурье функцию

(рис. 2).

◄ Так как полупериод функции , то , и ряд Фурье имеет вид

.

Коэффициенты , , находим по формулам -:

.

,

так как .

Таким образом,

или

или

в точках , где функция непрерывна. ►

3. Задачи для самостоятельного решения

Разложить в ряд Фурье следующие функции.

1. .

2. .

ОТВЕТЫ

1.3.1. . 1.3.2. S=9/2.

Сходится.	Сходится.	Сходится.	Сходится.
Расходится.	Расходится.	Сходится.	Расходится.
Расходится.	Расходится.	Расходится..	Сходится.
Сходится	Сходится.	Сходится.	Расходится.

Сходится абсолютно.	Сходится абсолютно.
Сходится абсолютно.	Сходится абсолютно
Сходится условно.	Расходится.

4.3.1. . 4.3.2. . 4.3.3. . 4.3.4. .

4.3.5. . 4.3.6. . 5.3.7. . 4.3.8 .

5.3.1. . 5.3.2. .

5.3.3. 5.3.4.

5.3.5. .

5.3.6.

5.3.7. .

5.3.8. .

5.3.9. .

5.3.10. .

5.3.11. . 6.3.1 .

6.3.2. .