- •Редактор л.С. Кокина План 2010
- •150023, Ярославль, Московский пр., 88
- •150000, Ярославль, ул. Советская, 14а
- •Понятие сходимости ряда. Сумма ряда
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •О вычислении пределов
- •Предел последовательности
- •Предел сложной функции
- •Замена функций на эквивалентные
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Функциональные ряды. Степенные ряды
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Разложение функций в степенные ряды
- •Сведения из теории
- •О функциях, разлагающихся в степенной ряд
- •Ряд Тейлора
- •Разложение в степенные ряды основных элементарных функций
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ряды фурье
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Задания для контрольной работы
О функциях, разлагающихся в степенной ряд
Если функция представлена в виде суммы функционального ряда, то говорят, что она разлагается в (этот) ряд.
Функцию , разлагающуюся в некоторой окрестности точки в степенной ряд:
, ,
на любом отрезке , содержащемся в интервале сходимости можно приблизить с любой точностью ε многочленом
при достаточно большом значении и потому найти ее приближенное значение также с любой точностью. Это является актуальным даже для основных элементарных функций , , , …, алгоритмы вычисления которых в программах для калькуляторов и компьютеров основаны на их разложениях в степенные ряды.
В виде степенных рядов можно представить различные интегралы, зависящие от параметра (примеры 5.2.5, 5.2.6). При этом используется следующее свойство степенного ряда. Степенной ряд (5.1) можно почленно интегрировать по любому отрезку , содержащемуся в интервале сходимости :
.
В виде степенного ряда обычно можно представить решения дифференциального уравнения n-го порядка ( ) (пример 5.2.7).
Ряд Тейлора
Если функция разлагается в степенной ряд (5.1), то коэффициенты ряда имеют вид , где – производная n-го порядка функции в точке , а , то есть
В такой записи ряд называется рядом Тейлора функции в точке (по степеням ). В частном случае разложение в ряд Тейлора принимает вид
.
В дальнейшем только такие разложения и будем рассматривать.
Разложение в степенные ряды основных элементарных функций
, .
, .
, .
,
, .
Примеры решения задач
Вычислить с точностью до 0,01.
◄ Подставляя в формулу (5.4) , получим
.
Ряд – знакочередующийся, абсолютные величины его членов убывают и стремятся к нулю. По признаку Лейбница сумма этого ряда не превосходит первого члена .
Поэтому с точностью до 0,01
,000–0,500+0,125–0,021=0,604.
Округляя до сотых, получаем 0,60. ►
Найти четыре члена разложения в ряд по степеням x функции .
◄ Для функции воспользуемся рядом Тейлора (5.3):
Находим ,
, ,
, , .
Подставляя найденные значения в (5.3), получаем, учитывая, что ,
►
Разложить в ряд по степеням x функцию
◄ Запишем в виде . По формуле (5.7)
.
Подставляя сюда , получаем
.
Прибавим единицу и умножим на ½:
,
. ►
Разложить в ряд по степеням x интегральный синус
.
Используя это разложение, найти с точностью до 0,001.
◄ 1. Из стандартного разложения (5.5) для синуса
получаем разложение в степенной ряд подынтегральной функции
.
Интегрируя этот ряд почленно, получаем разложение в степенной ряд интегрального синуса
,
или окончательно
2. .
Абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывают и стремятся к нулю. По признаку Лейбница его сумма . Поэтому с точностью до 0,001
,0555+0,0017=0,9462.
Итак, 0,946. ►
Разложить в ряд по степеням x функцию .
◄ Разложим в степенной ряд подынтегральную функцию. По формуле
.
Подставляя сюда , получаем
,
.
Интегрируем этот ряд почленно:
=
=
.
Итак, ►
Найти четыре члена разложения в ряд по степеням x решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям .
◄ Ищем решение в виде ряда Тейлора:
Значения и нам заданы начальными условиями.
Так как – решение уравнения, то имеет место тождество
,
из которого находим .
Дифференцируя тождество , получаем
,
откуда
.
Подставляя найденные производные в ряд Тейлора , получаем .►