Выбор вращения

_{Лемма 3.}

Пусть , , где – элементарная матрица вращения ( – угол вращения), тогда

Док–во.

Требуемые равенства выводятся из соотношения

.

_{Лемма 4.}

Пусть , ,

где – элементарная матрица вращения такая, что

то .

Док–во.

Требуемое неравенство следует из

равенства и оценки .

_{Лемма 5.}

Решением уравнения при является угол такой, что

Док–во

осуществляется непосредственной проверкой.

_{Теорема 1.}

Последовательность матриц метода вращений:

, , где – матрица вращения, определяемая по формулам лемм 4 и 5,

для решения полной проблемы на собственные значения , сходится к диагональному виду, т.е. , причем

.

_{Лемма 6.}

при .

Док–во.

Т.к.

, ,

то .

Теорема 2

(оценка приближения собственных значений).

а) ,

б) .

_{Док–во.}

Т.к. , то

, .

, где – ортогональная м–ца.

а) , т.к. .

.

б) доказывается аналогично.

_{Лемма 7.}

Если , , ,

,

то , .

Док–во

оставляется в качестве упражнения.

Теорема 3

(оценка приближения собственных векторов).

В условиях леммы 7 .

_{Док–во.}

Т.к. и из доказательства теоремы 2 ( ) и леммы 7 следует, что , то .

Осталось оценить (здесь мы воспользовались условием ).

Т.к. , то

.

Подводя итог, имеем

.