Переобуславливатель

Для решения системы рассмотрим итерационный метод

,

где матрица (переобуславливатель) эквивалентна по спектру матрице с постоянными :

.

Теорема.	.
Док–во.	. – вещественный .

Следствие.

т.к. и .

Теорема.	( ), тогда .
Док–во.	функционал ошибки строго убывает и, т.к. оператор непрерывен, то итерационный процесс сходится .

Положительно определенные матрицы

Теорема 1. .

Теорема 2.

Теорема 3.

(т.к. – разложение Холесского) – это критерий Сильвестра положительной определенности или положительности всех собственных значений симметричной (самосопряженной) матрицы.

Теорема 4.

Теорема 5. – веществ. кососимметричная матрица .

Теорема 6. .

Доказать эти утверждения в качестве упражнений.

Построить пример вещественной несимметричной, но положительно определенной в матрицы.

Лекция 11. Проблема собственных значений

Для матрицы нужно найти числа и ненулевые векторы такие, что : – собственное значение, – собственный вектор.

Корректность задачи на собственные значения

Известно, что все собственные значения матрицы являются корнями характеристического полинома

,

а коэффициенты – непрерывные функции элементов матрицы .

Пусть – матрица с “малыми” по величине элементами, – характеристический полином матрицы . Следствием непрерывности как функции элементов матрицы является

Лемма 1. .

Лемма 2.	В любом круге на комплексной плоскости с центром в точке и радиуса лежит хотя бы один корень полинома .
Док–во.	Разложим в ряд Тейлора в точке : , где . Пусть – корни полинома , среди которых корень с минимальной абсолютной величиной имеет номер . Так как , то (корень полинома ) лежит в круге радиуса .

Лемма 3.	Если – корни полинома , то нумерация корней полинома : при .
Док–во	методом матиндукции по степени полинома. . Пусть лемма верна при . : из леммы 2 . Т.к. и , то .

Степенной метод вычисления максимального собственного значения матрицы

Идея метода: для заданного вектора рассмотрим его –ю итерацию ,

если – собственные значения,

– соответствующие им собственные векторы, то

где – коэффициенты (неизвестные!)

разложения вектора по базису .

Итерационный процесс

называется степенным методом вычисления максимального собственного значения матрицы :

, ,

если проекция начального вектора на линейную оболочку собственных векторов, соответствующих , не равна 0.

Док–во. Пусть – собственные значения,

– собственные векторы матрицы , и

Тогда и,

т.к. , ,

то ,

.

Замечание. Сходимость степенного метода не зависит от выбора в нем векторной нормы, т.к. все нормы в эквивалентны.

Степенной метод вычисления минимального собственного значения матрицы

Задача вычисления минимального собственного значения матрицы легко сводится к задаче вычисления максимального собственного значения матрицы , где , так как .

Оценку для легко найти: . Тогда

итерационный процесс

называется степенным методом вычисления минимального собственного значения матрицы : ,

если проекция начального вектора на линейную оболочку собственных векторов, соответствующих , не равна 0.

Справедливость этого утверждения является следствием сходимости степенного метода вычисления спектрального радиуса матрицы .