3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора

Наиболее простым и достаточно эффективным способом приближения функций является использование формулы Тейлора для их разложения в степенной ряд. Пусть задана непрерывная функция , имеющая непрерывные производные до порядка включительно. Такую функцию можно разложить в некоторой окрестности точки по степеням по формуле Тейлора:

, (3.1)

где – остаточный член (ошибка, погрешность), связанный с заменой при вычислении бесконечного степенного ряда первыми его членами.

Ошибку ограничения можно оценить по формуле, где :

.

Формула Тейлора не только дает возможность организовать численный метод вычисления значений функции , но и позволяет оценить величину ошибки приближения, возникающей в результате ограничения количества рассматриваемых членов ряда. При ее использовании требуется определить точку , в окрестностях которой будет производиться разложение функции, при этом следует руководствоваться соображениями точности представления коэффициентов ряда (3.1) и величиной используемого интервала области определения, внутри которого будут производиться вычисления.

Рассмотрим разложение в ряд Тейлора функции . Найдем соответствующие производные и в результате получим последовательность функций: , , , , , , , , … . Если положить , то последовательность функций преобразуется в ряд чисел 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0, ..., тогда по формуле (3.1) мы имеем:

.

Оценим величину ошибки приближения при рассмотрении первых четырех членов ряда и ,

,

поскольку для любых .

Из полученной оценки погрешности видно, что ошибка приближения зависит от и если не изменить число членов ряда в представлении функции , то для достаточно больших значение погрешности может превысить 1.

3.1.2. Полиномы Чебышева

Формула Тейлора при разложении функции в степенной ряд дает сходимость, зависящую от значения . Возникает идея поиска такого многочлена , чтобы максимальная ошибка приближения функции была бы наименьшей. Данная задача была решена великим русским математиком П.Л.Чебышевым и получила название задачи о наилучшем приближении.

Пусть задана некоторая функция , которую на отрезке требуется приблизить многочленом таким образом, чтобы

,

т.е. подобрать такие коэффициенты , чтобы максимальная величина модуля разности между и была наименьшей для любых .

Определение. Полиномом Чебышева называется многочлен вида , где .

Заметим, что полиномы Чебышева не являются тригонометрическими функциями, однако доказательство данного утверждения приводить не будем. Используя известные формулы тригонометрии, найдем первые три многочлена:

,

,

.

Для вычисления многочленов Чебышева практичнее использовать следующее рекуррентное соотношение:

. (3.2)

Свойства многочленов Чебышева:

1. Учитывая формулу (3.2), можно установить, что , , то есть коэффициент при старшей степени многочлена Чебышева равен .

2. Полиномы Чебышева образуют ортогональный базис (с весом ) на множестве функций, непрерывных на отрезке , и удовлетворяют следующим равенствам:

(3.3)

3. Многочлены Чебышева доставляют минимум максимальной ошибки приближения, то есть являются многочленами наилучшего приближения для класса функции, непрерывных на отрезке . Докажем данный факт.

Чебышев показал, что точная верхняя грань (supremum, супремум) многочлена среди всех многочленов с коэффициентом 1 при старшей степени на отрезке наименьшая. Действительно, , откуда , тогда , причем экстремумы принимают попеременно положительные и отрицательные значения на отрезке [–1,1], так как – гармоническая функция. Количество экстремумов равно . Рассмотрим разность: , которая является многочленом степени (поскольку члены уничтожаются). Если экстремальное значение меньше, чем у , то в экстремальных точках полинома функция принимает по очереди положительные и отрицательные значения. Следовательно, имеет действительных корней, чего не тожет быть, так как степень многочлена равна . Тогда выполняется тождество или

.

Последнее свойство полиномов Чебышева представляет большой интерес для численного анализа. Если какая-либо ошибка приближения может быть выражена многочленом Чебышева степени , то любое другое выражение для ошибки в виде многочлена степени , имеющего тот же самый коэффициент при старшей степени , будет иметь на отрезке [–1,1] большую максимальную ошибку, чем чебышевское.

Практика использования полиномов Чебышева для решения задачи приближения функции заключается в следующем. Поскольку система функций образует базис, то на отрезке [–1,1] любую функцию можно представить как линейную комбинацию , :

. (3.4)

Коэффициенты разложения можно определить, используя свойство ортогональности (3.3) полиномов Чебышева. Для определения почленно умножим левую и правую часть выражения (3.4) на и проинтегрируем:

.

Учитывая ортогональность, имеем:

или .

Аналогично можно вычислить остальные коэффициенты разложения (3.4):

, . (3.5)

Единственной проблемой разложения функции по полиномам Чебышева является вычисление достаточно сложных интегралов вида (3.5).