- •Вопрос1
- •Вопрос 2
- •Вопрос 3
- •Вопрос 4
- •Несобственные интегралы I рода
- •Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- •Примеры
- •Несобственные интегралы II рода
- •Вопрос 5
- •Вопрос 6
- •Связь с градиентом
- •Вопрос 7
- •Тейлора формула
- •Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких (двух) переменных
- •Вопрос 8
- •Описание метода
- •Вопрос 9
- •Вопрос 10 Криволинейный интеграл
- •Вопрос 11
- •Вопрос 12
- •Вопрос 13
- •Поверхностный интеграл первого рода Определение
- •Параметрическая форма
- •Свойства
- •Поверхностный интеграл второго рода Определение
- •Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода
- •Свойства
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16 Примеры физических задач, приводящих к уравнениям с разделяющимися переменными Охлаждение тела
- •Вопрос 17
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Уравнения с правой частью специального вида
Вопрос 13
Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.
Поверхностный интеграл первого рода Определение
Пусть — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на задана функция . Рассмотрим разбиение этой поверхности на части кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку . Вычислив значение функции в этой точке и, приняв за — площадь поверхности рассмотрим сумму .
Тогда число называется пределом сумм , если:
Предел сумм при называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначается следующим образом:
Параметрическая форма
Пусть на поверхности можно ввести единую параметризацию посредством функций
заданных в ограниченной замкнутой области плоскости и принадлежащих классу в этой области. Если функция непрерывна на поверхности , то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности существует и может быть вычислен по формуле:
, где:
Свойства
Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности.
Линейность: ;
Аддитивность: ;
Монотонность:
если , то
для если , то
Теорема о среднем для непрерывной функции и замкнутой ограниченной поверхности :
.
Поверхностный интеграл второго рода Определение
Рассмотрим двустороннюю поверхность , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.
Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причем точка изменяется в области на плоскости , ограниченный кусочно-гладким контуром.
Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части и выбрав на каждой такой части точку вычисляем значение функции в данной точке и умножим его на площадь проекции на плоскость элемента , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:
.
Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от
,
распространенным на выбранную сторону поверхности , и обозначают символом
(здесь ) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость
Если вместо плоскости спроектировать элементы поверхности на плоскость или , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:
или .
В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:
где суть функции от , определенные в точках поверхности .
Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода
, где — единичный вектор нормали поверхности , — орт.
Свойства
Линейность: ;
Аддитивность: ;
При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.
Свойства и вычисление поверхностного интеграла по площади поверхности. Если поверхность задана уравнением и однозначно проектируется на плоскость , то поверхностный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле . Нетрудно получить аналогичные формулы, если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости. Поскольку вычисление поверхностного интеграла сводится к двойному интегралу, то, естественно, все свойства поверхностного интеграла 1-го рода такие же, как и у двойного.