- •Вопрос1
- •Вопрос 2
- •Вопрос 3
- •Вопрос 4
- •Несобственные интегралы I рода
- •Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- •Примеры
- •Несобственные интегралы II рода
- •Вопрос 5
- •Вопрос 6
- •Связь с градиентом
- •Вопрос 7
- •Тейлора формула
- •Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких (двух) переменных
- •Вопрос 8
- •Описание метода
- •Вопрос 9
- •Вопрос 10 Криволинейный интеграл
- •Вопрос 11
- •Вопрос 12
- •Вопрос 13
- •Поверхностный интеграл первого рода Определение
- •Параметрическая форма
- •Свойства
- •Поверхностный интеграл второго рода Определение
- •Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода
- •Свойства
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16 Примеры физических задач, приводящих к уравнениям с разделяющимися переменными Охлаждение тела
- •Вопрос 17
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Уравнения с правой частью специального вида
Вопрос 20
Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно:
|
Если f (x) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.
Принцип суперпозиции. Если и – решения однородного уравнения то
y (x) = α1 y1 (x) + α2 y2 (x) |
при любых постоянных α1 и α2 является решением однородного уравнения.
Если и – решения неоднородного уравнения то их разность
y (x) = y1 (x) – y2 (x) |
есть решение однородного уравнения
Всякое решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения
Уравнение вида
|
где a1, …, an – некоторые постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Всякое решение однородного уравнения первого порядка
|
имеет вид
|
где C – постоянная.
Уравнение вида
|
где Pm (x) – многочлен степени m, μ – постоянная, имеет частное решение вида
|
если μ ≠ λ, и вида
|
если μ = λ. Здесь Qm (x) – многочлен степени m.
В общем случае у однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеется так называемое характеристическое уравнение Корни этого уравнения – характеристические числа – являются показателями степеней слагаемых, входящих в решение. Если среди корней уравнения нет кратных, то решением однородного уравнения является функция вида где все – некоторые константы, зависящие от начальных условий. Количество слагаемых в этой функции совпадает со степенью дифференциального уравнения. Если же, скажем, – корень характеристического уравнения кратности m, то соответствующее слагаемое принимает вид а общее количество слагаемых, входящих в решение однородного дифференциального уравнения уменьшается на m – 1.
Уравнение
|
где ω > 0, называется уравнением гармонических колебаний. Его нетривиальным решением является функция вида
x (t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt, |
где C1, C2 – постоянные. Эту функцию можно представить в виде
x (t) = A cos (ωt – φ), |
где
Уравнение
|
сводится к трем случаям:
a2 < ω2:
Эта функция не периодическая, но ее максимумы и минимумы повторяются с периодом T = 2π/ω. Величина A e–at называется амплитудой затухающих колебаний. Заметим, что она существенно зависит от времени.
a2 > ω2:
где λ1 и λ2 – постоянные:
Функция x(t) – непериодична, это – апериодический процесс.
теме |
Справочники, руководства |
Решение задач в онлайн режиме |