- •01001 М. Київ, Хрещатик, 7/11
- •Розділ 1. Елементи лінійної алгебри
- •1.1. Елементи теорії матриць та визначників
- •1.1.1. Поняття матриці. Види матриць
- •Види матриць
- •1.1.2. Дії над матрицями
- •Властивості дій над матрицями
- •1.1.3. Визначники другого та третього порядків
- •1.1.4. Основні властивості визначників
- •1.1.5. Визначники -го порядку. Мінори та алгебраїчні доповнення
- •1.1.6. Обернена матриця
- •Алгоритм знаходження оберненої матриці
- •1.1.7. Ранг матриці
- •Властивості рангу матриці
- •Методи обчислення рангу матриці
- •Алгоритм знаходження рангу матриці
- •1.2.2. Метод Крамера розв'язування систем лінійних рівнянь
- •1.2.3. Матричний метод розв'язування систем лінійних рівнянь
- •1.2.4. Метод Гаусса розв'язування систем лінійних рівнянь
- •Алгоритм методу Гаусса
- •1.2.6.2. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки (балансовий аналіз)
- •Розділ 2. Аналітична геометрія. Векторна алгебра
- •2.1. Векторна алгебра
- •2.1.1. Векторні та скалярні величини. -вимірний вектор. Векторний простір
- •2.1.2. Різновиди векторів
- •2.1.3. Дії з векторами, заданими в координатній формі
- •Властивості скалярного добутку векторів:
- •2.1.4. Координати вектора. Довжина вектора. Кут між векторами
- •2.1.5. Лінійна залежність і незалежність векторів. Розкладання вектора за базисом
- •Алгоритм розкладу вектора за базисом
- •2.2. Лінії на площині
- •2.2.1. Прямокутна декартова система координат на площині та у просторі
- •2.2.2. Поняття рівняння лінії на площині. Види рівнянь прямої на площині
- •Види рівнянь прямоТ на площині
- •2.2.3. Кут між прямими
- •2.3. Лінії в просторі
- •23.1. Рівняння поверхні в просторі. Рівняння сфери
- •2.3.2. Види рівнянь площини
- •1. Загальне рівняння площини:
- •2.3.3. Відстань між двома точками в просторі. Відстань від точки до площини
- •23.4. Взаємне розміщений двох площин
- •2.3.5. Види рівнянь прямої у просторі
- •23.6. Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •2.3.7. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі
- •2.4. Криві лінії другого порядку на площині
- •2.4.1. Коло та його рівняння
- •2.4.2. Еліпс та його рівняння
- •2.43. Гіпербола та її рівняння
- •2.4.4. Парабола та и рівнинна
- •3.1.2. Деякі елементарні функції та їх графіки. Способи задания функцій
- •3.1.3. Основні властивості функцій
- •3.1.4. Застосування функцій в економіці
- •3.23. Теореми иро границі
- •3.2.4. Приклади обчислення границь послідовностей
- •3.2.5. Поняття границі функції. Односторонні границі
- •3.2.6. Основні теореми про іраниці. Чудові границі
- •3.2.7. Прийоми обчислення границь функції
- •3.2.8. Неперервність функції. Основні поняття
- •3.2.9. Властивості неперервних функцій
- •3.2.10. Розриви функції та їх класифікація
- •3.2.11. Методика дослідження функції на неперервність
- •Розділ 4. Диференціальне числення функцій однієї змінної 4.1. Похідна функції
- •4.1.1. Поняття похідпої
- •4.1.2. Геометричішй та механічний зміст похідної
- •Фізичний зміст похідної
- •4.1.3. Похідні основних елементарних функцій
- •4.1.4. Основні правила диференціювання функцій, заданих аналітично
- •4.1.5. Похідні функцій, заданих неявно та параметрично
- •4.1.6. Похідні вищих порядків
- •4.2. Диференціал функції однієї змінної
- •4.2.1. Означення диференціала функції, його геометричний зміст
- •422. Диференціали вищих порядків
- •4.3.3. Зростання та спадання функції, достатня умова
- •4.3.4. Екстремуми функцій, необхідна та достатня умови
- •Необхідна умова екстремуму
- •43.5. Опуклість, угнутість кривих та точки перетну функції
- •Необхідна умова існування точки перегину
- •Алгоритм дослідження функції на опуклість, угнутість і точки перегину
- •4.3.6. Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку
- •Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції; неперервної на відрику
- •4.3.7. Асимптоти до кривої графіка функції
- •4.3.8. Загальна схема дослідження функції
- •4.4. Економічні приклади та задачі
- •4.4.1. Застосування похідної до задач економіки
- •Темп зростання функції
- •4.4.2. Економічний зміст похідної. Еластичність
- •4.4.3. Економічне застосування диференціала. Мультиплікатор
- •Література
4.3.8. Загальна схема дослідження функції
Перший етап (використання властивостей заданої функції)
1. Облас.ь визначення функції |
|
2. Парність, непар- ність і періодичність |
- парна, якщо - симетрична відносно початку координат; - непарна, якщо - симетрична відносно початку координат; - періодична, якщо |
3. Точки перетину графіка з осями координат |
|
4. Точки розриву. Асимптоти графіка функції |
Вертикальні асимптоти - у точках нескінченного розриву 2-го роду функції . Похилі асимптоти: , де |
Другий етап (використання похідної першого порядку)
5. Знайти похідну та критичні точки функції |
або не існує |
6. Проміжки зростання, спадання |
- зростає, - спадає |
7. Точки екстремуму функції |
Якщо змінює знак при переході через з на то . якщо з на то |
Третій етап (використання похідної другого порядку)
8. Знайти другу похідну та критичні точки другого роду |
або не існує |
9. Проміжки опуклості, угнутості |
- функція угнута. - опукла |
10. Точки перетну і значення функції в цих точках |
якіцо змінює знак при переході через , то - точка перегину |
Приклад 4.12. Дослідити функцію та побудувати її графік.
Розв'язання
1. Область визначення
2.
Функція ні парна, ні непарна. Неперіодична.
3. Перетин з ;
з або .
4. Проміжки зростання, спадання та точки екстремуму:
- критичні точки
Функція зростає при , спадає при .
6. Асимптоти: ,
Отже, - вертикальна асимптота.
Знайдемо похилу асимптоту :
Маємо, - похила асимптота.
7. Проміжки опуклості, угнутості та точки перегину функції:
Оскільки , то знак другої похідної може змінюватися лише в точці
Функція опукла при , угнута при .
Точок перегину немає.
|
-6 |
-2 |
|
-33 |
7 |
4.4. Економічні приклади та задачі
4.4.1. Застосування похідної до задач економіки
Приклад 4.13. Залежність фінансових зборів від обсягу продукції виражається формулою . При яких значеннях обсягу фінансові збори почнуть зростати?
Розв'язання
Фінансові збори зростають, якщо .
Отже, коли обсяг продукції перевищує 100 грн, фінансові збори зростають.
Відповідь. При .
Темп зростання функції
Якщо - задана функція, то швидкість її зміни визначається похідною .
Темпом зростання функції (відносною швидкістю) називається відношення
Наприклад, якщо , то темп зростання функції становить .
Приклад 4.14. Обсяг виготовленої продукції за день опи- сується рівнянням . Обчислити продуктивність праці та швидкість її зміни через 3 години після початку роботи.
Розв'язання
Продуктивність праці:
Швидкість зміни продуктивності
Якщо , то
Відповідь. , .
Якщо функцією задаються витрати виробництва однорідної продукції обсягу , то похідна дає граничні витрати виробництва продукції цього обсягу.
Приклад 4.15. Витрати виробництва залежно від обсягу продукції задаються формулою . Знайти граничні витрати, якщо обсяг складає 6 одиниць.
Розв'язання
Граничні витрати визначаються похідною від витрат ви робництва
Отже, при обсязі шести одиниць продукції втрати для виготовлення наступної сьомої одиниці складають 89,7.
Відповідь. 89,7.