- •01001 М. Київ, Хрещатик, 7/11
- •Розділ 1. Елементи лінійної алгебри
- •1.1. Елементи теорії матриць та визначників
- •1.1.1. Поняття матриці. Види матриць
- •Види матриць
- •1.1.2. Дії над матрицями
- •Властивості дій над матрицями
- •1.1.3. Визначники другого та третього порядків
- •1.1.4. Основні властивості визначників
- •1.1.5. Визначники -го порядку. Мінори та алгебраїчні доповнення
- •1.1.6. Обернена матриця
- •Алгоритм знаходження оберненої матриці
- •1.1.7. Ранг матриці
- •Властивості рангу матриці
- •Методи обчислення рангу матриці
- •Алгоритм знаходження рангу матриці
- •1.2.2. Метод Крамера розв'язування систем лінійних рівнянь
- •1.2.3. Матричний метод розв'язування систем лінійних рівнянь
- •1.2.4. Метод Гаусса розв'язування систем лінійних рівнянь
- •Алгоритм методу Гаусса
- •1.2.6.2. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки (балансовий аналіз)
- •Розділ 2. Аналітична геометрія. Векторна алгебра
- •2.1. Векторна алгебра
- •2.1.1. Векторні та скалярні величини. -вимірний вектор. Векторний простір
- •2.1.2. Різновиди векторів
- •2.1.3. Дії з векторами, заданими в координатній формі
- •Властивості скалярного добутку векторів:
- •2.1.4. Координати вектора. Довжина вектора. Кут між векторами
- •2.1.5. Лінійна залежність і незалежність векторів. Розкладання вектора за базисом
- •Алгоритм розкладу вектора за базисом
- •2.2. Лінії на площині
- •2.2.1. Прямокутна декартова система координат на площині та у просторі
- •2.2.2. Поняття рівняння лінії на площині. Види рівнянь прямої на площині
- •Види рівнянь прямоТ на площині
- •2.2.3. Кут між прямими
- •2.3. Лінії в просторі
- •23.1. Рівняння поверхні в просторі. Рівняння сфери
- •2.3.2. Види рівнянь площини
- •1. Загальне рівняння площини:
- •2.3.3. Відстань між двома точками в просторі. Відстань від точки до площини
- •23.4. Взаємне розміщений двох площин
- •2.3.5. Види рівнянь прямої у просторі
- •23.6. Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •2.3.7. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі
- •2.4. Криві лінії другого порядку на площині
- •2.4.1. Коло та його рівняння
- •2.4.2. Еліпс та його рівняння
- •2.43. Гіпербола та її рівняння
- •2.4.4. Парабола та и рівнинна
- •3.1.2. Деякі елементарні функції та їх графіки. Способи задания функцій
- •3.1.3. Основні властивості функцій
- •3.1.4. Застосування функцій в економіці
- •3.23. Теореми иро границі
- •3.2.4. Приклади обчислення границь послідовностей
- •3.2.5. Поняття границі функції. Односторонні границі
- •3.2.6. Основні теореми про іраниці. Чудові границі
- •3.2.7. Прийоми обчислення границь функції
- •3.2.8. Неперервність функції. Основні поняття
- •3.2.9. Властивості неперервних функцій
- •3.2.10. Розриви функції та їх класифікація
- •3.2.11. Методика дослідження функції на неперервність
- •Розділ 4. Диференціальне числення функцій однієї змінної 4.1. Похідна функції
- •4.1.1. Поняття похідпої
- •4.1.2. Геометричішй та механічний зміст похідної
- •Фізичний зміст похідної
- •4.1.3. Похідні основних елементарних функцій
- •4.1.4. Основні правила диференціювання функцій, заданих аналітично
- •4.1.5. Похідні функцій, заданих неявно та параметрично
- •4.1.6. Похідні вищих порядків
- •4.2. Диференціал функції однієї змінної
- •4.2.1. Означення диференціала функції, його геометричний зміст
- •422. Диференціали вищих порядків
- •4.3.3. Зростання та спадання функції, достатня умова
- •4.3.4. Екстремуми функцій, необхідна та достатня умови
- •Необхідна умова екстремуму
- •43.5. Опуклість, угнутість кривих та точки перетну функції
- •Необхідна умова існування точки перегину
- •Алгоритм дослідження функції на опуклість, угнутість і точки перегину
- •4.3.6. Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку
- •Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції; неперервної на відрику
- •4.3.7. Асимптоти до кривої графіка функції
- •4.3.8. Загальна схема дослідження функції
- •4.4. Економічні приклади та задачі
- •4.4.1. Застосування похідної до задач економіки
- •Темп зростання функції
- •4.4.2. Економічний зміст похідної. Еластичність
- •4.4.3. Економічне застосування диференціала. Мультиплікатор
- •Література
422. Диференціали вищих порядків
Диференціалом 2-го порядку функції в точці : називається вираз (диференціал від диференціала 1-го порядку функції в цій точці)
Диференціалом -го порядку функції в точці : називається вираз (диференціал від диференціала -го порядку функції в цій точці) .
Приклад 4.6. Знайти диференціал 3-го порядку функції
Розв'язання
Диференціал 3-го порядку функції знайдемо за формулою
Отже, .
Відповідь,
4.2.3. Правила знаходження диференціала
Диференціал суми двох диференційовних функцій і дорівнює сумі диференціалів цих функцій: .
Диференціал добутку двох диференційовних функцій і визначається за формулою .
Диференціал частки двох диференційовних функцій і визначається за формулою
Диференціал складеної функції. Нехай , тобто . Тош\ .
4.2.4. Застосування диференціала до наближених обчислень
У наближених обчисленнях використовусться рівність
Приклад 4.7. Обчислити наближено .
Розв'язання
Використаємо рівність / .
Отже, .
Відповідь. .
4.3. Основні теореми диференціального числення. Дослідження функцій та побудова їх графіків
43.1. Правило Лонігала
Нехай функції і :
диференційовні в деякому околі точки і в цьому околі
одночасно є нескінченно малими або нескінченно великими в точці
існує границя відношення похідних цих функцій . Тоді існує границя відношення цих функцій , причому
Приклад 4.8. За правилом Лопіталя знайти
Розв'язання
Відповідь, .
4.3.2. Основні теореми диференціального числення
Теорема Ферма. Якщо диференційовна функція у деякій точці інтервалу набуває свого найбільшого або найменшого значення, то в цій точці похідна дорівнює нулю: .
Геометрично теорема Ферма означає, що в точках, де функція набуває найбільшого та найменшого значень, дотичні є горизонтальними.
Теорема Ролля. Нехай задано функцію ), неперервну на відрізку і диференційовну на інтервалі . Тоді, якшо то всередині відрізка знайдеться точка , така шо .
Геометрична інтерпретація теореми Ролля: якщо виконуються умови теореми Ролля, то знайдеться хоча б одна точка , в якій дотична паралельна осі абсцис. У цій точці похідна й дорівнює нулю.
Теорема Лагранжа (про скінченні прирости функції). Нехай задано функцію , неперервну на відрізку і диференційовну на інтервалі . Тоді знайдеться точка , така що похідна функції в цій точці дорівнюватиме відношенню , тобто
.
Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа: на інтервалі знайдеться хоча б одна точка , в якій дотична є паралельною хорді, що сполучає кінці дуги функції на відрізку .
Теорема Коші (про кінцеві прирости двох функцій). Нехай на відрізку задано дві функції і . Якщо ці функції неперервні на відрізку і диференційовні на інтервалі , причому , то на інтервалі існує точка , така що
Геометрична інтерпретація теореми Коші
Нехай рівняння є рівнянням кривої, де на функції
і накладено умови теореми Коші. Теорема Коші стверджує існування точки , в якій дотична до кривої (4.1) паралельна хорді, що сполучає кінці цієї кривої.