Теорема. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Пусть
и
.
Тогда справедлива формула (1), в которой
при
.
Доказательство: будем проводить по индукции:
При n = 1 утверждение теоремы верно. В самом деле, в этом случае f дифференцируема в точке x0. Следовательно,
Что совпадает с условием теоремы.
Предположим,
что утверждение теоремы верно при
и
покажем, что это верно и для n.
Использую теорему Лагранжа о конечных приращениях и лемму, имеем (считая для определенности x > x0):
где x0 < ξ < x.
По
предположению индукции
при
.
Следовательно,
при .
что и требовалось показать.
Билет №6 Исследование функций одной переменной при помощи первой и второй производных на монотонность, локальные экстремумы, выпуклость. Теорема1
Пусть f дифференцируема на (a,b). Тогда
1.
условие
на
(a,b) необходимо и достаточно для
того, чтобы функция f возрастала
(убывала) на (a,b);
2. условие f' > 0(f' < 0) на (a,b) достаточно, чтобы функция f строго возрастала (строго убывала) на (a,b).
Доказательство:
Достаточность следует из формулы конечных прирощений Лагранжа
Необходимость.
Пусть f возрастает на
Тогда
.
Следовательно,
Замечание:
условие f' > 0 не является необходимым.
Пример:
Теорема 2. Ферма.
Пусть x0 - точка экстремума функции f. Тогда производная f'(x0) либо не существует, либо f'(x0) = 0.
Доказательство:
Пусть для определенности
.
Тогда
при
Δx > 0 и
при
Δx < 0. Переходя в этих неравенствах
к пределу при
,
получаем соответственно
,
.
Отсюда следует, что f'(x0) =
0.
Теорема 3.(достаточное условие строгого экстремума)
Пусть
f непрерывна в точке x0 и
дифференцируема на
.
Пусть f' меняет знак при переходе
через точку x0. Тогда x0
- точка строгого экстремума.
Доказательство:
Пусть для определенности f' > 0 на U(x0 + 0). Тогда из формулы конечных приращений Лагранжа f(x) − f(x0) = f'(ξ)(x − x0) видно, что приращение функции f меняет знак с "-" на "+" при переходе через точку x0. Следовательно, x0 - точка строгого максимума.
Замечание:
условия теоремы не являются необходимыми.
Пример:
Теорема 4.
Пусть
.
Тогда
1.
при четном n = 2k, x0 -
точка строгого экстремума (строго
минимума) при
(при
);
2.
при нечетном n = 2k + 1, x0
- точка возрастания (точка убывания) при
(при
).
Теорема 1 (условие выпуклости функций).
Пусть функция f имеет вторую производную f'' на (a,b). Тогда
1
условие
на
(a,b) необходимо и достаточно для
выпуклости вверх функции f на (a,b);
2 если f'' < 0 на (a,b), то функция f строго выпукла вверх на (a,b).
Доказательство: Достаточность: При a < α < x < β < b имеем, условие выпуклости вверх
а используя формулу конечных приращений Лагранжа
при
f''(ξ) < 0),a < α < ξ < ζ < η <
β < b.
Теорема 2 (необходимые условия точки перегиба).
Пусть
x0 - точка перегиба функции и
f'' непрерывна в точке x0.
Тогда f''(x0) = 0.
Доказательство:
от
противного
Допустим, что
и
для определенности f''(x0)
> 0. Тогда f''(x) > 0 в некоторой
окрестности U(x0). Значит
точка x0 находится внутри
интервала U(x) строгой выпуклости
вниз и не может быть точкой перегиба.
Теорема 3 (достаточные условия точки перегиба).
Пусть
,
а f'' меняет знак при переходе через
точку x0.
Тогда x0 - точка перегиба. Доказательства: сводится к проверке определения точки перегиба с помощью теоремы о достаточных условиях строгой выпуклости функции.
Теорема 4 (о расположении кривой относительно касательной).
1
Если f''(x0) > 0(f''(x0)
< 0), то
:
кривая y = f(x) лежит строго
выше (строго ниже) касательной y =
f(x0) + f'(x0)(x
− x0) при
.
2
Если
,
то
:
кривая y = f(x) переходит через
касательную, т.е. при x < x0
и
лежит
строго по разные стороны от касательной.
БИЛЕТ №7
Теорема о равномерной непрерывности функции непрерывной на компакте.
Теорема
(Кантор). Пусть
-
компакт, и функция f непрерывна на
E. Тогда f равномерно непрервына
на E.
Доказательство. Предположим, что теорема не верна, т.е. что существует функция f, непрерывная, но не равномерно непрерывная на E. Тогда
.
Будем
брать в качестве
и
соответствующую пару точек x,y
обозначать через x(m),y(m).
Тогда имеем
,
Выделим
из последовательности {x(m)}
сходящуюся подпоследовательность
,
,
что возможно в силу ограниченности
{x(m)} по теореме
Больцано-Вейерштрасса. Тогда из
следует,
что
.
Точка
,
так как E замкнуто. В силу непрерывности
f в точке x(0) по множеству
E имеем
при
а это противоречит тому, что
Теорема доказана