Взаимный базис
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взаимный базис |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Доказать, что для произвольных векторов ~a, b, ~c выполняется тождество |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
~ |
2 |
: |
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
([b; ~c]; [~c; ~a]; [~a; b]) = (~a; |
b; ~c) |
|
|
|
||||||
|
Решение. Обозначим левую часть доказываемого тождества через L. По определению |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
смешанного произведения L = ([[b; ~c]; [~c; ~a]]; [~a; b]). Тогда по формуле двойного векторного |
|||||||||||||||||
произведения |
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
L = (~c([b; ~c]; ~a) ~a([b; ~c]; ~c); [~a; b]): |
|
|
|
|
||||||||
По свойствам скалярного и смешанного произведений |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
~ |
~ |
2 |
: |
|
|
L = (~c(b; ~c; ~a) b(b; ~c; ~c); [~a; b]) = (b; ~c; ~a)(~c; [~a; b]) = (b; ~c; ~a)(~a; b; ~c) = (~a; b; ~c) |
||||||||||||||||
|
Пусть ~e1, ~e2, ~e3 тройка векторов. Рассмотрим такие векторы ~e1, ~e2, ~e3, что (~ei; |
~ej) = ij, |
|||||||||||||||
где |
ij |
– символ |
Кронекера: ij |
= 1; если i = j и ij = 0; если i = j: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
, ~e |
2 |
, ~e |
3 |
через векторы ~e1, ~e2 |
, ~e3 |
|
6 |
|
|
|
|
|||
|
2. Выразить векторы ~e |
|
|
|
и наоборот, выразить векторы ~e1, |
||||||||||||
~e2, ~e3 через векторы ~e1, ~e2, ~e3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение. Пусть векторы ~e1; ~e2; ~e3 компланарны. Тогда, например, ~e3 = ~e1 + ~e2 и 1 = |
||||||||||||||||
(~e3;~e3) = (~e1; ~e3) + (~e2; ~e3) = 0: Противоречие. Значит, векторы ~e1; ~e2; ~e3 не компланарны. |
|||||||||||||||||
Аналогично векторы ~e1; ~e2; ~e3 |
не компланарны. Из условий (~e1; ~e2) = (~e1; |
~e3) = 0 вытекает, |
что ~e1 можно записать в виде ~e1 = [~e2; ~e3]. Коэффициент находится из условия (~e1; ~e1) = 1 однозначно: = (~e1; ~e2; ~e3) 1. Аналогично находятся векторы ~e2 и ~e3 и обратно. Итак,
|
~e1 = |
[~e2; ~e3] |
; |
|
~e2 = |
|
[~e3; ~e1] |
|
; |
~e3 = |
[~e1; ~e2] |
|
; |
(2) |
||||||
|
(~e1; ~e2; ~e3) |
|
|
|
|
(~e1; ~e2; ~e3) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(~e1; ~e2; ~e3) |
|
|
|
|
|
|||||||
~e1 |
= |
|
[~e2; ~e3] |
; |
|
~e2 |
= |
|
[~e3; ~e1] |
; |
|
~e3 |
= |
|
[~e1; ~e2] |
: |
|
(2 b) |
||
(~e1; ~e2; ~e3) |
|
(~e1; ~e2; ~e3) |
|
(~e1; ~e2; ~e3) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Доказать, что векторы ~e1, ~e2, ~e3, если их определить равенствами (2), некомпланарны. Решение. Достаточно показать, что смешанное произведение векторов ~e1, ~e2, ~e3 отлично
от 0. По формуле (2) и линейности смешанного произведения по всем аргументам имеем
(~e1; ~e2; ~e3) = (~e1; ~e2; ~e3) 3([~e2; ~e3]; [~e3; ~e1]; [~e1; ~e2]):
Откуда по (1) получаем, что
(~e1; ~e2; ~e3) = |
|
1 |
: |
(3) |
|
|
|||
|
|
|||
(~e1 |
; ~e2; ~e3) |
|
Определение. Базис e =< ~e1; ~e2; ~e3 > называется взаимным с базисом e =< ~e1; ~e2; ~e3 >
или биортогональным к базису e =< ~e1; ~e2; ~e3 >.
Замечание. 1) Из задач 2 и 3 и определения взаимного базиса вытекает, что взаимный базис определен однозначно.
2)Если исходный базис положителен, то взаимный с ним базис также положителен. Если исходный базис отрицателен, то взаимный с ним базис тоже отрицателен.
3)Если базис e является взаимным к исходному базису e, то взаимный базис к e совпадает с исходным базисом e, т.е. базис, взаимный к взаимному базису есть исходный базис.
4)Если исходный базис ортонормированный, то взаимный базис совпадает с исходным базисом.
5)Если исходный базис совпадает со взаимным, то исходный базис ортонормированный. Вопрос: Какова размерность векторов взаимного базиса e, если векторы базиса e измеря-
ются в сантиметрах?
4. Доказать, что для любого вектора ~a выполнено:
~a = (a; ~e1)~e1 + (a; ~e2)~e2 + (a; ~e3)~e3; |
(4) |
~a = (a; ~e1)~e1 + (a; ~e2)~e2 + (a; ~e3)~e3: |
(5) |
Решение. Чтобы доказать (4), умножим равенство ~a = ~e1 + ~e2 + ~e3 скалярно сначала на ~e1, затем на ~e2 и на ~e3. Мы получим = (a; ~e1), = (a; ~e2), = (a; ~e3). Равенство (5) вытекает из (4) и того, что базисы e и e взаимны друг другу.
Замечание. Числа ; ; называются контравариантными координатами вектора ~a в базисе < ~e1; ~e2;~e3 >, а числа (~a; ~e1); (~a; ~e2); (~a; ~e3) называются ковариантными координатами вектора ~a в базисе < ~e1; ~e2; ~e3 >. Таким образом равенства (4) и (5) означает, что ковариантные координаты вектора есть его контравариантные координаты во взаимном базисе и наоборот, контравариантные координаты вектора есть его ковариантные координаты во взаимном базисе. Эти равенства также доказывают, что ковариантные координаты вектора действительно координаты: они взаимно-однозначно соответствуют вектору, складываются при сложении векторов и умножаются на число при умножении вектора на это число.
~ |
~ |
Следствие. Если векторы ~a, b, ~c некомпланарны, то любой вектор d единственным образом |
|
представим в виде |
|
~ |
~ |
d = x~a + yb + z~c:
В координатной форме (относительно некоторого базиса) это равенство запишется в виде системы линейных уравнений Ax = d с основной невырожденной матрицей A, столбцами кото-
рой являются координатные столбцы , ~, и столбцом свободных членов координатным
~a b ~c d
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбцом вектора d. Из формулы (4) и представления (2) векторов взаимной тройки вытекает, |
||||||||||||||
что решение системы Ax = d может быть найдено по формуле (формула Крамера) |
||||||||||||||
~ ~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ ~ |
|
|||
x = |
(d; b; ~c) |
; |
|
y = |
(~a; d; ~c) |
; |
z = |
|
(~a; b; d) |
: |
||||
|
|
|
~ |
|||||||||||
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
||||
|
(~a; b; ~c) |
|
|
(~a; b; ~c) |
|
|
|
(~a; |
b; ~c) |
|||||
|
|
|
|
(~x; ~a) |
(~x; |
~ |
|
(~x; ~c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
|
|
|
|
|||||||
5. Доказать, что (~a; ~b; ~c)(~x; ~y; ~z) = |
(~z; ~a) |
|
(~z; |
~b) |
(~z; ~c) |
: |
|
|
||||||
(~y; ~a) |
|
(~y; |
~b) |
(~y; ~c) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Если (~a; b; ~c) = 0, то тождество |
очевидно: левая |
часть равна 0 и правая часть |
равна 0, т.к. у определителя один из столбцов является линейной комбинацией остальных.
~ |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть теперь (~a; b; ~c) 6= 0. Рассмотрим выражение |
|
||||||
R = (~y; ~a) |
(~y; ~b) |
(~y; ~c) (~a; ~b; ~c) 1: |
|||||
|
(~x; ~a) |
~ |
(~x; ~c) |
|
|||
(~x; b) |
|||||||
(~z; ~a) |
(~z; ~b) |
(~z; ~c) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле (3) R можно переписать |
в виде |
|
|
|
|||
R = (~y; ~a) |
(~y; ~b) |
(~y; ~c) (~a ; ~b ; ~c ); |
|||||
|
(~x; ~a) |
~ |
(~x; ~c) |
|
|||
(~x; b) |
|||||||
(~z; ~a) |
(~z; ~b) |
(~z; ~c) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ~ взаимная тройка с ~ . По (5) в определителе из по строкам стоят коор-
~a ; b ; ~c ~a; b; ~c R
~
динаты векторов ~x; ~y; ~z в базисе < ~a ; b ; ~c >. То есть R представляет собой координатную
~
запись смешанного произведения (~x; ~y; ~z) в базисе < ~a ; b ; ~c >, что доказывает тождество.
~
Следствие. Объем параллелепипеда, построенного на векторах ~a; b; ~c
v
|
|
|
|
|
|
|
|
V = u |
(~a; ~a) |
~ |
(~a; ~c) |
|
|
|
|
(~a; b) |
: |
(6) |
|||||
(~b; ~a) |
(~b; ~b) |
(~b; ~c) |
|||||
|
u |
(~c; ~a) |
~ |
(~c; ~c) |
|
|
|
|
|
(~c; b) |
|
|
|
||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
6. Решить систему: (~x;~a) = p; (~x; b) = q; (~x;~c) = r; если (~a; b;~c) 6= 0:
2
Решение. Согласно (5) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
p[b;~c] + q[~c;~a] + r[~a; b] |
: |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(~a; b;~c) |
|
|
|
|
||
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
7. Пусть ~a = [b;~c]; |
b = [~c;~a]; |
~c = [~a; b]: Найти ~a; |
b; ~c: |
|
|
|
|
||
|
|
~ |
~ |
|
2 |
|
|
~ |
|
Решение. Из задачи (1) вытекает, что (~a; b;~c) = (~a; b;~c) |
: Тогда если (~a; b;~c) = 1; то вза- |
||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
> ортонормирован- |
имный к < ~a; b;~c > базис совпадает с исходным. Значит базис < ~a; b;~c |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
ный. Кроме того, он положительный (правый). Если же (~a; b;~c) = 0; то все векторы нулевые: |
|||||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
так как векторы компланарны, то, например, ~a = b + ~c: Тогда (~a;~a) = (~a; b) + (~a;~c) = |
|||||||||
~ |
|
|
|
~ |
|
|
~ |
~ |
~ |
(~a;~c;~a) + (~a;~a; b) = 0: Значит j~aj = 0; значит ~a = 0: Аналогично b = 0 и ~c = 0: |
Скалярное, векторное и смешанное произведения в аффинной системе координат
Определение. Метрическими коэффициентами базиса e =< ~e1; ~e2; ~e3 > называются следующие скалярные произведения:
gij = (ei; ej):
Матрицу G = (gij), составленную из этих произведений, называют матрицей Грама. Часто еe обозначают : Отметим, что gij = gji для всех i; j: Значит = T :
1 |
2 |
3 |
~ |
|
1 |
; y |
2 |
; y |
3 |
) заданы координатами относительно базиса e, то |
||||||||||||
Если векторы ~a(x |
; x |
; x |
) и b(y |
|
|
|
||||||||||||||||
их скалярное произведение вычисляется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
(~a; ~b) = |
=1 j=1 |
gijx |
x |
|
= (x |
; x |
; x |
)G |
0y31 |
: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@y A |
|
|
||||
|
|
|
Xi |
X |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
; y2; y3) во вза- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
) |
|
|||
1. Найти скалярное произведение (~a; b), если ~a(x |
; x |
; x |
в базисе e, а b(y1 |
имном базисе e.
Решение. Используя билинейность скалярного произведения и определение взаимного базиса, имеем:
XX
~ |
i |
~ei; |
yj~e |
j |
1 |
2 |
3 |
y3: |
(~a; b) = |
x |
|
= x |
y1 + x |
y2 + x |
2. Зная матрицу Грама G = (gij) базиса e, найти объем V параллелепипеда, построенного на векторах с координатами (x1; x2; x3), (y1; y2; y3) и (z1; z2; z3).
Решение. Из геометрического смысла смешанного произведения, заключаем, что V с точностью до знака равен
x1 x2 x3
y1 y2 y3 (~e1; ~e2; ~e3):
z1 z2 z3
p
Из (6) получаем, что с точностью до знака (~e1; ~e2; ~e3) = det G: Окончательно
V = pdet G det |
0y1 |
y2 |
y3 |
1: |
||
|
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
z1 |
z2 |
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
(~e1; ~e2; ~e3) = |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
p |
|
: |
|||||
|
|
(~e1; ~e2; ~e3) |
||||||||||
|
|
det G |
||||||||||
|
|
~ |
|
~ |
~ ~ |
|
|
~ ~ |
|
|
||
3. Доказать формулу: ([~a; b]; [~c; d]) = (~a; ~c)(b; d) |
(~a; d)(b; ~c): |
|||||||||||
|
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
~ |
|
|
Решение. ([~a; b]; [~c; d]) = |
(~a; b; [~c; d]) |
= (b; [~c; d];~a) = |
(b; [[~c; |
|||||||||
~ |
~ ~ |
~ ~ |
|
~ |
~ |
~ |
|
~ |
~ |
|
||
(b;~c(~a; d) d(~a;~c)) = (b; d(~a;~c) ~c(~a; d)) = (~a; ~c)(b; d) |
(~a; d)(b; ~c): |
~ |
~ |
~ |
d];~a]) |
= (b; [~a; [~c; d]]) = |
3
4. Выразить координаты векторного произведения ~ через координаты сомножителей
[~a; b]
1 2 3 и ~ 1 2 3 и метрические коэффициенты базиса, считая базис положительным
~a( ; ; ) b( ; ; )
(правым).
Решение. Мы имеем:
[~a;~b] = |
1 |
2 |
3 |
(e~1; e~2; e~3) = (~a; e~1) (~a; e~2) |
(~a; e~3) |
(~e1; ~e2;~e3) = |
|||||||||||||||
|
~e |
1 |
~e |
2 |
~e |
3 |
|
|
|
|
|
~e1 |
~e2 |
|
|
~e3 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
~ |
~ |
|
|
~ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b; e~1) (b; e~2) (b; e~3) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~e1 |
|
|
~e2 |
~e3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
(~a; e~1) |
(~a; e~2) |
(~a; e~3) |
: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
pdet G |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b; e~1) |
(b; e~2) |
(b; e~3) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, подставляя вместо и ~ базисные векторы, можно, в частности, найти
~a b
[~e1; ~e2] = |
1 |
g11 |
g12 |
g13 ; |
|||||
|
pdet G |
|
~e1 |
~e2 |
~e3 |
|
|||
|
g |
|
g |
|
g |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[~e2; ~e3] = |
1 |
g21 |
g22 |
g23 ; |
|||||
|
pdet G |
|
~e1 |
~e2 |
~e3 |
|
|||
|
g |
|
g |
|
g |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
32 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[~e1; ~e3] = |
|
|
~e1 |
~e2 |
~e3 |
: |
pdet G g11 |
g12 |
g13 |
||||
|
1 |
|
g |
g |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение вторым способом. В силу билинейности векторного произведения, достаточно выразить через метрические коэффициенты координаты векторов [~e1; ~e2], [~e2; ~e3] и [~e1; ~e3].
Пусть [~e1; ~e2] = 1~e1 + 2~e3 + 1~e3: Найдем первую координату 1. По формуле (4) и выражению (2) векторов взаимного базиса через векторы ~e1; ~e2; ~e3, имеем:
1 = ([~e1; ~e2]; ~e1) = (~e1; ~e2; ~e3) 1([~e1; ~e2]; [~e2; ~e3]):
Теперь воспользуемся формулой
~ ~ ~ ~ ~ ~ ([~a; b]; [~c; d]) = (~a; ~c)(b; d) (~a; d)(b; ~c);
откуда получаем выражение для 1:
|
|
|
(~e1; ~e2) (~e1; ~e3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
|
|
(~e1 |
; ~e2; ~e3) |
|
|
= pdet G |
g22 |
|
g23 |
: |
|
|
|||||||||||||
|
|
(~e2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
; ~e2) (~e2; ~e3) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
g12 |
|
g13 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично находятся координаты 2 и 3: |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
= pdet G |
g21 |
g23 |
|
|
3 = pdet G g21 |
g22 |
: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
g11 |
g13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
g11 |
g12 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
g11 |
g12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
[~e1; ~e2] = |
|
|
g13 |
: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pdet G |
|
~e1 |
~e2 |
~e3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
g |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично находим, что
[~e2; ~e3] = |
1 |
g21 |
g22 |
g23 ; |
|||||
|
pdet G |
|
~e1 |
~e2 |
~e3 |
|
|||
|
g |
|
g |
|
g |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
32 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[~e1; ~e3] = |
|
|
~e1 |
~e2 |
~e3 |
: |
pdet G g11 |
g12 |
g13 |
||||
|
1 |
|
g |
g |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4