- •Математические модели и их виды. Классификация моделей
- •Экстемум функций многих переменных. Линии уровня. Градиент. Условный экстремум
- •Постановка и свойства задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация.
- •Симплекс- метод решения задачи линейного программирования
- •Двойственная задача линейного программирования, ее интерпретация и свойства
- •Транспортная задача и ее математическая модель. Определение опорного плана транспортной задачи
- •Определение оптимального плана транспортной задачи методом потенциалов. Приемы решения методом потенциалов транспортных задач
- •Геометрическая и экономическая интерпретация задач нелинейного программирования. Метод множителей Лагранжа. Возможности численного решения нелинейных и целочисленных задач
- •Основные понятия и общая характеристика задач динамического программирования, их геометрическая и экономическая интерпретация. Нахождение решение задач методом динамического программирования
- •Оптимизационные задачи, решаемые при помощи графов. Алгоритмы на графах
- •Нахождение максимального и минимального пути в графе. Решение транспортной задачи с помощью графов
- •Основные понятия теории массового обслуживания. Компоненты и классификация моделей систем массового обслуживания
- •Определение характеристик систем массового обслуживания. Марковский процесс. Уравнения Колмогорова
- •Одноканальные и многоканальные смо с пуассоновским входным потоком и экпотенциальным распределением длительности обслуживания
- •Основные количественные характеристики простейшего потока.
- •Распределение интервала времени t между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока.
- •Одноканальная смо с отказами и ее характеристики
- •Многоканальная смо с отказами и ее характеристики
- •Одноканальная смо с ожиданием и его характеристики. Формула Литтла
- •Многоканальное смо с ожиданием и ее характеристики. Формула Литтла
- •Простейшие задачи решаемые методом имитационного моделирования. Теоретические основы метода имитационного моделирования
- •Моделирование смо с использованием метода Монте- Карло
- •Имитация процессов, происходящих во времени. Основная идея и методы прогнозирования. Количественные методы прогноза. Прогнозирование временных рядов. Модель линейной регрессии
- •Предмет теории игр, основные понятия. Матричные игры. Цны, доминирующие и оптимальные стратегии игр. Принцип минмакса. Решение задач теории игр в чистых стратегиях
- •Стратегические игры в смешанных стратегиях. Основная теорема теории игр. Решение задачи в смешанных стратегиях методами линейного программирования
- •Оценка сложных систем в условиях неопределенности. Матрица рисков. Критерии: Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.
Простейшие задачи решаемые методом имитационного моделирования. Теоретические основы метода имитационного моделирования
Первый этап создания любой имитационной модели — этап описания реально существующей системы в терминах характеристик основных событий. Эти события, как правило, связаны с переходами изучаемой системы из одного возможного состояния в другое и обозначаются как точки на временной оси. Для достижения основной цели моделирования достаточно наблюдать систему в моменты реализации основных событий.
Для наглядности иллюстрации идеи использования основных событий в компьютерном имитационном моделировании рассмотрим пример одноканальной системы массового обслуживания. Как правило, целью имитационного моделирования подобной системы является определение оценок ее основных характеристик, таких, как среднее время пребывания заявки в очереди, средняя длина очереди и доля времени простоя системы. Характеристики самого процесса массового обслуживания могут изменять свои значения либо в момент поступления новой заявки на обслуживание, либо при завершении обслуживания очередной заявки. К обслуживанию поступившей заявки система массового обслуживания может приступить немедленно (канал обслуживания свободен), но не исключена необходимость ожидания, когда заявке придется занять место в очереди (система массового обслуживания с очередью, канал обслуживания занят). После завершения обслуживания очередной заявки система массового обслуживания может сразу приступить к обслуживанию следующей заявки, если она есть, но может и простаивать, если таковая отсутствует. Необходимую информацию можно получить, наблюдая различные ситуации, возникающие при реализациях основных событий. Так, при поступлении заявки в систему массового обслуживания с очередью при занятом канале обслуживания длина очереди увеличивается на единицу. Аналогично длина очереди уменьшается на единицу, если завершено обслуживание очередной заявки и множество заявок в очереди не пусто.
Для эксплуатации любой имитационной модели необходимо выбрать единицу времени. В зависимости от природы моделируемой системы такой единицей может быть микросекунда, час, год и т.д. Так, например, при моделировании процесса функционирования крупного аэропорта в качестве единицы времени, как правило, используют минуту, а при моделировании процесса эволюции в изолированной популяции — среднюю продолжительность жизни одного поколения.
Для иллюстрации принципа эксплуатации имитационных моделей приведем простейший типовой пример.
Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания с простейшим входным потоком заявок и интенсивностью А = 3 (заявки в час). Время обслуживания одной заявки с вероятностью 0,5 равно 0,2 ч и с вероятностью 0,5 равно 0,6 ч. Заявки обслуживаются в порядке поступления. Длина очереди и источник заявок не ограничены. Предполагается, что в начальный момент времени канал обслуживания свободен и в очереди нет ни одной заявки.
Для простейшего входного потока заявок с интенсивностью А = 3 (заявки в час) длительность временного интервала между двумя последовательно поступившими заявками — случайная величина ( ),распределенная по экспоненциальному закону с параметром А. Если ук — реализация случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0,1], то реализация к длительности временного интервала между двумя последовательно поступившими заявками определяется следующим образом:
А так как по условию с вероятностью 0,5 время обслуживания одной заявки равно либо 0,2 ч, либо 0,6 ч, то реализация времени обслуживания.
В рассматриваемой системе массового обслуживания возможны два основных события: поступление заявки и уход заявки из системы в связи с окончанием обслуживания. Действия, связанные с этими событиями, можно охарактеризовать следующим образом.
I. Действия, связанные с поступлением заявки в систему массового обслуживания:
1) генерация момента поступления следующей заявки на обслуживание путем определения реализации к длительности ( ) временного интервала между двумя последовательно поступившими заявками и прибавлением к текущему времени моделирования;
2) проверка состояния системы (процесс обслуживания или простой): а) если система простаивает (канал обслуживания свободен), то следует начать обслуживание поступившей заявки, для чего моделируется время обслуживания и вычисляется время окончания обслуживания, добавляемое к текущему времени моделирования . Состояние системы изменяется на рабочее и корректируется суммарное время ее простоя, а если система находится в процессе обслуживания, то следует поставить поступившую заявку в очередь, увеличив ее длину на единицу.
II. Действия по окончании обслуживания заявки в системе связаны с проверкой состояния очереди:
1) если очередь пуста, т.е. в ней нет заявок, то объявляется простой системы;
2) если очередь не пуста, то необходимо начать обслуживание первой по очереди заявки, уменьшить длину очереди на единицу, скорректировать время ожидания, сгенерировать время обслуживания и вычислить время окончания обслуживания, прибавив к текущему времени моделирования.
Одноканальная система начинает работать при пустой очереди и свободном канале обслуживания, т.е. ее функционирование начинается с простоя. Время 1 поступления первой заявки на обслуживание моделируется псевдослучайным числом:
Таким образом, в момент времени t = 0 + 1 = 0,31 происходит событие, состоящее в поступлении заявки на обслуживание. Вычисляем время поступления следующей заявки:
Поскольку в начальный момент времени система простаивает, то в момент времени t = 0,31 начинается обслуживание первой заявки. Время обслуживания (0,66655) = 0,6 ч, т.е. время окончания обслуживания равно:
Система объявляется работающей, а время простоя корректируется:
Следующее по времени событие связано с поступлением заявки на обслуживание в момент времени t = 0,55 ч. Так как в это время происходит обслуживание первой заявки, то поступившая заявка становится в очередь, длина которой корректируется:
Следующая заявка поступает в момент времени
А так как система все еще обслуживает первую заявку, то длина очереди увеличивается: Далее определяется время поступления следующей заявки:
А так как система все еще обслуживает первую заявку, то длина очереди увеличивается:
Определим время поступления следующей заявки:
Полезно отмечать новые события на рисунке по мере их реализации (на рис.3. символ а обозначает поступление заявки, символ Р — время окончания обслуживания заявки).
Рис 3
Следующее событие наступает в момент времени t=0,91 ч и представляет собой окончание обслуживания первой заявки. А так как очередь не пуста, то начинается обслуживание следующей заявки и корректируется длина очереди:
При этом суммарное время ожидания обслуживания равно
а время обслуживания второй заявки равно (0,47764) = 0,2 ч. Таким образом, обслуживание второй заявки завершится в момент времени
t = 0,91 + 0,2 = 1,11 ч.
Процедура повторяется до тех пор, пока не будет промоделирован весь отрезок времени [0, Т] функционирования одноканальной системы массового обслуживания. При этом можно определить оценки основных характеристик этой системы и установить зависимость их качества от величины Т, т.е. от длительности времени моделирования процесса функционирования системы. Так, например: а) доля времени простоя системы (в процентах) равна отношению суммарного времени простоя к величине Т, умноженному на 100; б) среднее время ожидания обслуживания равно отношению суммарного времени ожидания к числу поступивших заявок; в) средняя длина очереди равна отношению т(А)/Т, где т(А) — площадь плоской фигуры А, ограниченной осью времени и ступенчатой линией r = r(t), t [0, Т], отражающей зависимость длины очереди от времени t.