Распределение интервала времени t между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока.
Рис.4.
Так как вероятность того, что на промежутке времени t не появится ни одного из последующего события (2.1.2), равна:
,
то вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины T, есть:
.
(2.1.3)
Плотность распределения случайной величины есть производная от её функции распределения, т.е.
(2.1.4)
Распределение, задаваемое плотностью вероятности (2.1.4) или функцией распределения (2.1.3) является показательным (экспоненциальным)
Таким образом, случайная величина T – интервал времени между двумя произвольными соседними событиями имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднему квадратическому значению T (см.§2.1.1):
Отметим важнейшее свойство показательного распределения (присущее только этому распределению), которое состоит в следующем:
если промежуток времени,
распределённый по показательному
закону, уже длится некоторое время
,
то это никак не влияет на закон
распределения оставшейся части промежутка
(T
–
):
он будет таким же, как и закон распределения
всего промежутка T.
Другими словами, для интервала времени T между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение, любые сведения о том, сколько времени протекал этот интервал, не влияет на закон распределения оставшейся части. Это свойство показательного закона представляет собой, по сути дела, другую формулировку для «отсутствия последействия» – основного свойства простейшего потока.
Приведём ещё одну важную характеристику простейшего потока, которую мы будем использовать при выводе и использовании уравнений Марковских процессов. Для простейшего потока с интенсивностью λ вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени Δt хотя бы одного события потока (противоположное событие – ноль событий) равна согласно (2.1.2):
(2.1.5)
Примечание. Отметим, что выражение (2.1.5) получено с учётом в разложении функции e-λΔt в ряд Маклорена по степеням Δt только двух членов ряда, и это приближение будет тем точнее, чем меньше Δt.
Подведём итог.
Использование моделей простейших потоков событий в качестве входных и выходных процессов в СМО определяется свойствами таких потоков:
стационарность – постоянное число событий в единицу времени;
отсутствие последействия – независимость числа событий после любого момента времени от числа событий до него;
ординарность – практическая невозможность одновременного наступления нескольких событий,
позволяющих применение аналитических методов теории случайных процессов при построении и анализе математических моделей СМО.