- •Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
- •13. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема Коши. Общее и частное решения.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделенными переменными, с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема Коши.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.
- •Линейный дифференциальный оператор. Свойства решений однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.
- •Необходимое и достаточное условие линейной независимости частных решений однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.
- •Структура общего решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений n - го порядка.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Решения однородных линейных дифференциальных уравнения п - го порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения.
- •Метод подбора частного решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка. Метод суперпозиции решений.
- •Двойные интегралы и их свойства. Теорема о среднем. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
- •Полярная система координат. Переход в двойных интегралах от декартовой системы координат к полярной системе координат. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат.
- •Приложения двойных интегралов.
- •Тройные интегралы и их свойства. Теорема о среднем. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.
- •Криволинейные координаты в пространстве. Переход в тройных интегралах от декартовой системы координат к криволинейной системе координат.
- •Цилиндрическая система координат. Вычисление тройных интегралов в цилиндрической системе координат.
- •Сферическая система координат. Вычисление тройных интегралов в сферической системе координат.
- •Приложения тройных интегралов.
- •Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина.
- •Поверхностные интегралы первого и второго рода. Формула Остроградского - Гаусса.
- •Векторные функции скалярного аргумента.
- •Скалярное поле. Поверхности уровня, линии уровня.
- •Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
- •Векторное поле. Векторные линии.
- •Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Векторная запись формулы Остроградского - Гаусса.
- •Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля.
Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
Пусть в обл-ти V задано ск поле u=u(x,y,z), u=u(P), т.P (V) Возьмем т.Р0, проведем вект l из т. Ро. На l возьмем т.Р ∆u=u(P)-u(P0). Обозначим длину |P0P|. Найдем отношение приращения этой ф-и к длине этого вектора. Отношение характерезует среднюю скорость изменения скал поля в т.Р0. ∆u/ |P0P| к пределу т.Р (l) lim(P-P0) ∆u/|P0P|
☼Если при Р=Р0 по в-ру l существует конечный предел этого отношения, то он наз-ся производн скал поля u=u(x,y,z) по направлению в-ра l в т Р0 и обозначается: ∂u/∂l|P0 по определнию получили lim(P-P0) ∆u/ |P0P|=∂u/∂l |P0, P l . Зам-е: очевидно, производная по направлению l в т.Р0 характерезует скор-ть изменения скалярн поля в т. Р0 в направлении в-ра l. Если ∂u/∂l |P0>0 , то поле возрастает в т.Р0 в направлении в-ра l и тем быстрее,чем больше эта скорость. Если ∂u/∂l |P0<0 , то поле убывает в т.Р0 в направлении в-ра l и тем медленнее,чем меньше эта скорость. Вывод: ∂u/ ∂l в т.Р0 есть количественная хар-ка ск поля u(P) в т. Р0 в напр-и вектора l.
Т1 Если ф-я 3х переменных u=u(x,y,z) диф-ма в т. Р0 (x0,y0,z0), то ск поле u(x,y,z) имеет производную по любому направлению любого вектора с началом в т Р0, к-я вычисляется по след ф-ле: ∂u/∂l|P0= ∂u/ ∂x *cosα|P0+ ∂u/ ∂y *cosβ|P0+ ∂u/ ∂z *cosγ|P0 , α,β,γ - углы, к-е составляет вектор l с осями координат ox,oy,oz.
Произв по направлению, ориентир по кривой L. Рассм нек обл-ть V, в к-й определена ф-я u(p), возьмем т.Р0 v и проведем нек-ю пространств кривую L V. ∆S – длина дуги Р0Р, вычислим приращение ф-и ∆u=u(P)-u(P0), переходим к пределу, ∆u/∆S, lim(P-P0) ∆u/∆S, P L.
☼Если при Р-Р0 по ориентированной кривой L существует конечный предел отношения ∆u/ ∆S, то он называется производной скалярн поля u(P) в т.Р0 по направлению пространств кривой L и обозначается: lim(P-P0) ∆u/ ∆S= ∆u/ ∆L|P0.
Т2 Если ф-я u=u(P)=u(x,y,z) диф-ма в т. Р0(x0,y0,z0), то скал поле u(p) имеет производную по направлению любой ориентированной кривой с началом в т Р0 и полю V, к-я вычисляется по ф-ле: ∂u/∂l|P0= ∂u/ ∂x *cosα|P0+ ∂u/ ∂y *cosβ|P0+ ∂u/ ∂z *cosγ|P0 , где α,β,γ – углы, к-е сост касат вектор τ кривой L с соотв осями координат ox,oy,oz ∂u/∂L|P0= ∂u/∂τ|P0. Зам-е: Единичный вект направления l0 имеет коорд l0(cosα,cosβ,cosγ),( направляющие косинусы). Если известен вектор l, то вектор l / его длину - получим единичный вектор этого направления.
Градиент скал поля. Пустьзадано скал поле u=u(x,y,z) в нек обл-ти V и т.Р0 V. ☼Градиент скал поля u(x,y,z) в т. Р0 наз-ся вектор с коорд (∂u/ ∂x |P0, ∂u/ ∂y|P0 ,+ ∂u/ ∂z |P0 ) и обозначается grad u(P0)= ∂u/ ∂x |P0*i+ ∂u/ ∂y|P0*j+ ∂u/ ∂z |P0*k. Св-ва градиента: 1) вектор градиента скал поля u(P0) направлен по нормали к пов-ти уровня, проходящей ч/з т Р0. 2) Вектор градиента скалярн поля u(P0) направлен в сторону наибольшего изменения скалярного поля. 3) наибольшее скалярное изменение скалярного поля u(P0) = длине градиента скалярн поля u(P0) max ∂u/∂l |P0= |grad u(P0)|.