- •2. . Он называется сходящимся, если существует конечный предел частичного интервала . В противном случае он расходящийся.
- •14.Достаточные условия экстремума функции многих переменных с использованием второго дифференциала и критерия Сильвестра.
- •15. Определение двойного интеграла
- •1.2. Основные свойства двойного интеграла
- •1.4. Геометрическая трактовка двойного интеграла
- •20. Интегрируемые типы уравнений первого порядка
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной .
- •24 Метод вариации произвольных постоянных
- •Остаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.
- •Сходящиеся, абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся комплексные ряды
- •Функции комплексной переменной как суммы абсолютно сходящихся степенных рядов. Формула Эйлера
Сходящиеся, абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся комплексные ряды
Выражение вида , где , , , называется комплексным числовым рядом.
Величина называется частичной суммой ряда , а числа – его элементами.
Если существует конечный предел , то говорят, что этот ряд сходится и число называют его суммой. В противном случае ряд расходится.
Сходимость комплексного ряда к сумме равносильна сходимости двух вещественных рядов и к суммам А и В соответственно.
Если сходится ряд , составленный из модулей элементов ряда , то и этот ряд также сходится. В этом случае ряд называют абсолютно сходящимся.
Ряд называют условно сходящимся, если этот ряд сходится, но ряд расходится.
Абсолютная сходимость ряда влечет за собой сходимость обоих рядов и .
Благодаря этому, для комплексных рядов сохраняет свою силу, например, признак Даламбера.
При исследовании на сходимость числовых рядов с комплексными элементами предлагается следующая методика решения:
для ряда , где , составить ряд и изучить его на сходимость;
в случае отсутствия абсолютной сходимости изучить ряды и .
Функции комплексной переменной как суммы абсолютно сходящихся степенных рядов. Формула Эйлера
Ряд вида , где – комплексные числовые коэффициенты, а z – переменная, изменяющаяся во всей комплексной плоскости, называют степенным. По аналогии со степенными рядами для действительной переменной, установлено существование такого числа , что для (если ) ряд абсолютно сходится, а для (если ) ряд расходится. Таким образом, если и конечно, то степенной ряд абсолютно сходится внутри круга радиуса R с центром в начале координат и расходится вне этого круга. Например, с помощью признака Даламбера, изучим на абсолютную сходимость ряд .
□ Здесь , , тогда при любом z. Значит, изучаемый ряд сходится абсолютно для .
Ранее было установлено, что при любом вещественном x имеет место разложение .
Если в этом ряде заменить вещественную переменную x комплексной переменной , то получится ряд , про который мы установили, что он сходится, т.е. имеет определенную конечную сумму, во всей плоскости комплексной переменной. Его сумму и принимают, по определению, за значение показательной функции при любом комплексном z, т.е. полагают , . ■
Используя это определение, можно показать, что для любых и справедливо равенство: .
Пусть , где . Тогда .
Если в ряд для подставить вместо z, то получим , или, отделяя вещественную часть от мнимой, .
В полученных рядах легко узнать разложения для и и, таким образом, получить замечательную формулу: , которую называют формулой Эйлера. Итак, если , то .