14.Достаточные условия экстремума функции многих переменных с использованием второго дифференциала и критерия Сильвестра.

15. Определение двойного интеграла

ПОЛНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

Рассмотрим функцию двух переменных  , заданную и непрерывную в замкнутой области D   XOY. 1.     Разобьем область D на n малых элементарных частей произвольным образом. Обозначим через DSi площадь  i-ой части, а через di- диаметр i-ой части. Число l = max  , где i = 1,…,n,  назовем рангом разбиения двумерной области D.   2.     В каждой части разбиения выберем произвольную точку Pi (xi,yi) и вычислим значение функции z в ней: f ( ) = f (Pi), i = 1, …, n, (Рис. 1) 3.     Составим сумму парных произведений значений функции f (Pi) на площади DSi соответствующих частей разбиения:   (1) эта сумма называется двумерной интегральной суммой функции f(x,y) в области D (двумерной суммой Римана). 4.     Вычислим предел интегральной суммы (1) при условии, что ранг разбиения l ® 0. Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения области D на элементарные части и от выбора точек Pi в каждой части, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D. Обозначение и терминология:   (2) D — область интегрирования; f (x,y) — подынтегральная функция; f (x,y)dS — подынтегральное выражение; dS — бесконечно малый элемент области интегрирования           (дифференциал площади плоской области).

Краткая формулировка определения двойного интеграла

Двойным интегралом от функции f (x,y) по области D называется конечный предел двумерной интегральной суммы, вычисленный при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму.

Диаметр плоской фигуры

Диаметр плоской геометрической фигуры — это длина наибольшей хорды этой фигуры, то есть наибольшее расстояние между двумя точками этой фигуры.

Достаточное условие существования двойного интеграла

Если функция z = f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D существует.

1.2. Основные свойства двойного интеграла

(доказываются аналогично свойствам определенного интеграла)

Свойство 1 (о линейности двойного интеграла по подынтегральной функции)

Двойной интеграл от линейной комбинации функций равен аналогичной линейной комбинации двойных интегралов от каждой из функций:

          ,

где — постоянные множители по x и по y.

Свойство 2 (об аддитивности двойного интеграла по области интегрирования)

Если D = D1 È D2, то

 

Свойство 3 (о значении двойного интеграла от функции, тождественно равной единице)

Если подынтегральная функция f (x,y) º 1 на области D, то двойной интеграл от функции f (x,y) по области D равен площади (мере)  области интегрирования:

Свойство 4 (оценки значения двойного интеграла)

1. Если m и M — наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y) в области D, то

2. Если   при "(x,y)ÎD, то

 - площадь области 

Свойство 5 (об интегрировании неравенств двойным интегралом)

Если при   верно неравенство  , то  ,  то есть двойной интеграл от бóльшей функции имеет бóльшее значение (при условии, что оба интеграла существуют).

 

 

Свойство 6 (теорема о среднем)

Если функция f (x,y) непрерывна в области D, то существует хотя бы одна точка P₀(x₀,y₀)ÎD, такая что

Число   называется средним значением функции f (x,y) в области D.

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.

  Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл   существует.

 

 

  Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл   существует.