14. Определенный интеграл

И зучение определенного интеграла начинаем со следующей задачи. Пусть функция определена на , . Попробуем отыскать метод вычисления площади фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной осью , прямыми , и графиком функции , рис. 1.

Рассмотрим частные случаи :Функция постоянна на . В таком случае рассматриваемая фигура является прямоугольником, а его площадь равна длине основания , умноженной на высоту

1. Пусть непрерывна на . Разделим отрезок на произвольных частей точками . Выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т.е. величину .

Умножим найденные значения на длину , т.е. .Составим сумму всех таких произведений

(1)

Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции на отрезке .Обозначим .

Найдем предел интегральной суммы (1), когда так, что . Если при этом интегральная сумма имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число под определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования,  подынтегральной функцией,  подынтегральным выражением,  переменной интегрирования,  областью интегрирования.

15.Методы вычисления определенного интеграла

1. Замена переменных в определенном интеграле

Пусть  непрерывна на . Введем новую переменную по формуле . Пусть , , функции , и непрерывны на . Тогда

2. Интегрирование по частям

Для любых непрерывно дифференцируемых на функций и имеет место равенство:

Или в обозначениях

1 6.Некоторые приложения определенного интеграла

1. Вычисление площади плоской фигуры

Известно, что площадь криволинейной трапеции (рис. 2) вычисляется как

2. Длина дуги кривой

Длина L дуги АВ кривой, заданной уравнением , где точка А соответствует значению , точка В соответствует значению (см. рис. 8) находится по формуле:

3. Объем тела

Пусть требуется найти объем V тела, причем известна площадь сечения тела, плоскостями, перпендикулярными к оси то

4. Объем тела вращения

17. Формула Ньютона  Лейбница

Если  первообразная для непрерывной на функции , то имеет место равенство:

Формула Ньютона  Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла.

Примеры.

18

19

20. Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производную первого порядка или дифференциалы и .

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(1)

Если это уравнение можно разрешить относительно у', то оно примет вид

(2)

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями

Определение. Решением дифференциального уравнения (1) называется функция , обращающая уравнение в тождество.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

, (3)

которая зависит от произвольной постоянной с и обращает дифференци­альное уравнение (1) в тождество.

Определение. Общее решение

(4)

заданное в неявном виде, называется общим интегралом этого уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (1) называется функция , которая получается из общего решения (3) при определенном числовом значении .