29. Анализ линейных цепей при гармоническом воздействии. Параллельная rlс-цепь.

30. Делители тока и напряжения.

31. Комплексная, полная, активная, реактивная и мгновенная мощности.

Комплексная мощность   — произведение комплексного напряжения   на сопряженную величину комплексного тока  :

Таким образом, вещественная часть комплексной мощности   равна активной мощности, а мнимая часть — реактивной мощности на рассматриваемом участке цепи.

Если имеются законы изменения тока и напряжения

то их произведение

Мгновенная мощность

График этой функции - результат графического умножения графиков тока и напряжения.

Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности за период Т:

Активная мощность физически представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи с сопротивлением R. Действительно, произведение . Следовательно:

[Вт]

П од реактивной мощностью Q принимают произведение напряжения на участке цепи на ток, протекающий по этому участку, и на синус угла φ между напряжением и током.

[ ВАр]

Величина, объединяющая активные реактивные мощности, называется полной мощностью.

[ ВА]

Для того, чтобы вычислить полную мощность нужно комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:

Таким образом, активная мощность Р есть действительная часть (Re), а реактивная Q - мнимая часть (Im) произведения

32. Комплексные частотные характеристики линейных электрических цепей.

33. Последовательный колебательный контур. Резонанс тока. Последовательный колебательный контур

      Последовательный колебательный контур является простейшей резонансной (колебательной) цепью. Состоит последовательный колебательный контур, из последовательно включенных катушки индуктивности и конденсатора. При воздействии на такую цепь переменного (гармонического) напряжения, через катушку и конденсатор будет протекать переменный ток, величина которого вычисляется по закону Ома: I = U / Х_Σ , где Х_Σ - сумма реактивных сопротивлений последовательно включенных катушки и конденсатора (используется модуль суммы).        Для освежения памяти, вспомним как зависят реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности от частоты приложенного переменного напряжения. Для катушки индуктивности, эта зависимость будет иметь вид:

      Из формулы видно, что при увеличении частоты, реактивное сопротивление катушки индуктивности увеличивается. Для конденсатора зависимость его реактивного сопротивления от частоты будет выглядеть следующим образом:

      В отличии от индуктивности, у конденсатора всё происходит наоборот - при увеличении частоты, реактивное сопротивление уменьшается. На следующем рисунке графически представлены зависимости реактивных сопротивлений катушки X_L и конденсатора Х_C от циклической (круговой) частоты ω, а также график зависимости от частоты ω их алгебраической суммы Х_Σ. График, по сути, показывает зависимость от частоты общего реактивного сопротивления последовательного колебательного контура.         Из графика видно, что на некоторой частоте ω=ω_р , на которой реактивные сопротивления катушки и конденсатора равны по модулю (равны по значению, но противоположны по знаку), общее сопротивление цепи обращается в ноль. На этой частоте в цепи наблюдается максимум тока, который ограничен только омическими потерями в катушке индуктивности (т.е. активным сопротивлением провода обмотки катушки) и внутренним сопротивлением источника тока (генератора). Такую частоту, при которой наблюдается рассмотренное явление, называемое в физике резонансом, называют резонансной частотой или собственной частотой колебаний цепи. Также из графика видно, что на частотах, ниже частоты резонанса реактивное сопротивление последовательного колебательного контура носит емкостной характер, а на более высоких частотах - индуктивный. Что касается самой резонансной частоты, то она может быть вычислена при помощи формулы Томсона, которую мы можем вывести из формул реактивных сопротивлений катушки индуктивности и конденсатора, приравняв их реактивные сопротивления друг к другу:

      На рисунке справа, изображена эквивалентная схема последовательного резонансного контура с учетом омических потерь R, подключенного к идеальному генератору гармонического напряжения с амплитудой U. Полное сопротивление (импеданс) такой цепи определяется: Z = √(R²+X_Σ²), где X_Σ = ω L-1/ωC. На резонансной частоте, когда величины реактивных сопротивлений катушки X_L = ωL и конденсатора Х_С= 1/ωС равны по модулю, величина X_Σ обращается в нуль (следовательно, сопротивление цепи чисто активное), а ток в цепи определятся отношением амплитуды напряжения генератора к сопротивлению омических потерь: I= U/R. При этом на катушке и на конденсаторе, в которых запасена реактивная электрическая энергия, падает одинаковое напряжение U_L = U_С = IX_L = IX_С.         На любой другой частоте, отличной от резонансной, напряжения на катушке и конденсаторе неодинаковы - они определяются амплитудой тока в цепи и величинами модулей реактивных сопротивлений X_L и X_С.Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре принято называть резонансом напряжений. Резонансной частотой контура называют такую частоту, на которой сопротивление контура имеет чисто активный (резистивный) характер.Условие резонанса - это равенство величин реактивных сопротивлений катушки индуктивности и ёмкости.

      Одними из наиболее важных параметров колебательного контура (кроме, разумеется, резонансной частоты) являются его характеристическое (или волновое) сопротивление ρ и добротность контура Q. Характеристическим (волновым) сопротивлением контураρ называется величина реактивного сопротивления емкости и индуктивности контура на резонансной частоте: ρ = Х_L = Х_C при ω =ω_р . Характеристическое сопротивление может быть вычислено следующим образом: ρ = √(L/C). Характеристическое сопротивление ρявляется количественной мерой оценки энергии, запасенной реактивными элементами контура - катушкой (энергия магнитного поля) W_L= (LI²)/2 и конденсатором (энергия электрического поля) W_C=(CU²)/2. Отношение энергии, запасенной реактивными элементами контура, к энергии омических (резистивных) потерь за период принято называть добротностью Q контура, что в буквальном переводе с английского языка обозначает "качество".       Добротность колебательного контура - характеристика, определяющая амплитуду и ширину АЧХ резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в контуре больше, чем потери энергии за один период колебаний. Добротность учитывает наличие активного сопротивления нагрузки R.        Для последовательного колебательного контура в RLC цепях, в котором все три элемента включены последовательно, добротность вычисляется:

где R, L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно. Величину, обратную добротности d = 1 / Qназывают затуханием контура. Для определения добротности обычно пользуются формулой Q = ρ / R, где R-сопротивление омических потерь контура, характеризующее мощность резистивных (активных потерь) контура Р = I²R. Добротность реальных колебательных контуров, выполненных на дискретных катушках индуктивности и конденсаторах, составляет от нескольких единиц до сотни и более. Добротность различных колебательных систем, построенных на принципе пьезоэлектрических и других эффектов (например, кварцевые резонаторы) может достигать нескольких тысяч и более.

      Частотные свойства различных цепей в технике принято оценивать с помощью амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), при этом сами цепи рассматривают как четырёхполюсники. На рисунках ниже представлены два простейших четырехполюсника, содержащих последовательный колебательный контур и АЧХ этих цепей, которые приведены (показаны сплошными линями). По вертикальной оси графиков АЧХ отложена величина коэффициента передачи цепи по напряжению К, показывающая отношение выходного напряжения цепи к входному.

      Для пассивных цепей (т.е. не содержащих усилительных элементов и источников энергии), величина К никогда не превышает единицу. Сопротивление переменному току изображённой на рисунке цепи, будет минимально при частоте воздействия, равной резонансной частоте контура. В этом случае коэффициент передачи цепи близок к единице (определяется омическими потерями в контуре). На частотах, сильно отличающихся от резонансной, сопротивление контура переменному току достаточно велико, а следовательно, и коэффициент передачи цепи будет падать практически до нуля.

      При резонансе в этой цепи, источник входного сигнала оказывается фактически замкнутым накоротко малым сопротивлением контура, благодаря чему коэффициент передачи такой цепи на резонансной частоте падает практически до нуля (опять-таки в силу наличия конечного сопротивления потерь). Наоборот, при частотах входного воздействия, значительно отстоящих от резонансной, коэффициент передачи цепи оказывается близким к единице. Свойство колебательного контура в значительной степени изменять коэффициент передачи на частотах, близких к резонансной, широко используется на практике, когда требуется выделить сигнал с конкретной частотой из множества ненужных сигналов, расположенных на других частотах. Так, в любом радиоприемнике при помощи колебательных цепей обеспечивается настройка на частоту нужной радиостанции. Свойство колебательного контура выделять из множества частот одну принято называть селективностью или избирательностью. При этом интенсивность изменения коэффициента передачи цепи при отстройке частоты воздействия от резонанса принято оценивать при помощи параметра, называемого полосой пропускания. За полосу пропускания принимается диапазон частот, в пределах которого уменьшение (или увеличение - в зависимости от вида цепи) коэффициента передачи относительно его значения на резонансной частоте, не превышает величины 0,7 (3дБ).

      Пунктирными линиями на графиках показаны АЧХ точно таких же цепей, колебательные контуры которых имеют такие же резонансные частоты, как и для случая рассмотренного выше, но обладающие меньшей добротностью (например, катушка индуктивности намотана проводом, обладающим большим сопротивлением постоянному току). Как видно из рисунков, при этом расширяется полоса пропускания цепи и ухудшаются ее селективные (избирательные) свойства. Исходя из этого, при расчете и конструировании колебательных контуров нужно стремиться к повышению их добротности. Однако, в ряде случаев, добротность контура, наоборот, приходится занижать (например, включая последовательно с катушкой индуктивности резистор небольшой величины сопротивления), что позволяет избежать искажений широкополосных сигналов. Хотя, если на практике требуется выделить достаточно широкополосный сигнал, селективные цепи, как правило, строятся не на одиночных колебательных контурах, а на более сложных связанных (многоконтурных) колебательных системах, в т.ч. многозвенных фильтрах.

В электрических цепях пе­ременного тока при параллель­ном соединении реактивных со­противлений может возникать резонанс токов. Это происхо­дит в том случае, когда в од­них ветвях преобладает реак­тивное индуктивное сопротив­ление, а в других - реактивное емкостное сопротивление. Резонанс токов (явление резонанса на участке электрической цепи, содержащей параллельно соединенные индук­тивный и емкостный элементы) - особое состояние цепи переменного тока при параллельном соединении сопро­тивлений, при котором реактивная индуктивная прово­димость оказывается равной реактивной емкостной проводимости этой цепи, т. е. при условии, что .

Простейшей электрической цепью, в которой может наблюдаться резонанс токов, является цепь с параллель­ным соединением катушки индуктивности и конденсатора.

Полная проводимость рассматриваемой цепи

.

Условие резонанса токов ( ) можно записать через соответствующие параметры электрической цепи. Так как реактивная проводимость катушки, имеющей ак­тивное сопротивление , определяется выражением , а проводимость конденсато­ра без учета его активного сопротивления ( )

,

то условие резонанса может быть записано в виде .

Из этого выражения следует, что резонанс токов мож­но получить при изменении одного из параметров , , и при постоянстве других. При некоторых условиях в подобных цепях резонанс может возникать и при одно­временном изменении указанных параметров.

Простейшие резонансные цепи, состоящие из парал­лельно соединенных между собой катушки индуктивности и конденсатора, широко применяются в радиоэлектронике в качестве колебательных контуров, в которых резонанс токов достигается при некоторой определенной частоте поступающего на вход соответствующего устройства сиг­нала.

В лабораторных условиях наиболее часто резонанс токов достигается при неизменной индуктивности ка­тушки, путем изменения емкости батареи конденсато­ров. С изменением емкостной проводимости , пропорциональной емкости конденсатора, происходит из­менение полной проводимости , общего тока и коэф­фициента мощности .

Указанные зависимости называются резонанс­ными кривыми (рис.4). Анализ этих зависимос­тей показывает, что при увеличении емкости от нуля пол­ная проводимость электрической цепи сначала уменьшается, достигает при своего минимума, а затем возрастает с увеличением , в пределе стремясь к бесконечности. Общий ток , потребляемый цепью, пропорционален полной проводи­мости. Поэтому характер его из­менения подобен характеру изме­нения проводимости. Коэффици­ент мощности с увеличением емкости сначала возрастает, а затем уменьшается, в пре­деле стремясь к нулю, так как . В результате анализа указанных зависимостей можно установить, что резонанс токов характеризуется следующими явлениями.

1. При резонансе токов полная проводимость всей электрической цепи приобретает минимальное значение и становится равной активной ее составляющей:

2. Минимальное значение проводимости обусловли­вает и минимальное значение тока цепи:

.

3. Емкостный ток и индуктивная составляющая тока катушки оказываются при этом равными по вели­чине, а активная составляющая тока катушки ; стано­вится равной току , потребляемому из сети:

; .

При этом реактивные составляющие тока и (в зависимости от значения реактивных проводимостей) мо­гут приобретать теоретически весьма большие значения и намного превышать ток , потребляемый электрической цепью из сети.

4. Реактивная составляющая полной мощности, пот­ребляемой цепью, при оказывается равной нулю:

.

При этом индуктивная и емкостная составляющие реактивной мощности также могут приобретать весьма большие значения, оставаясь равными друг другу.

5. Полная мощность цепи при резонансе равна ее ак­тивной составляющей

.

6. Коэффициент мощности всей цепи при резонансе:

.

Напряжение и ток электрической цепи при резонансе токов совпадают по фазе. Векторная диаграмма, по­строенная для условии резонанса токов применительно к рассматриваемой цепи, представ­лена на рис.5.

Резонанс токов находит широкое применение в силовых электрических цепях для повышения коэффициента мощности ( ), так как он имеет большое технико-экономическое значение. Повышение коэффициента мощ­ности обеспечивается подключением конденсаторов (или других источников реактивной емкостной мощности) параллельно потребителям электрической энергии, которые вследствие наличия свойственной им индуктивности имеют низкий коэффициент мощности.