- •Введение.
- •Назначение курса.
- •1.2 Логические представления
- •1.3 История развитая математической логики
- •1.4 Вопросы для самопроверки.
- •2. Основы математической логики
- •2.1 Логика высказываний. Основные понятия и определения.
- •2.2 Предикаты и кванторы
- •2.3 Булевы функции, булевы константы.
- •2.4 Основные логические связи.
- •Отрицание (логическая связь "не")
- •Конъюнкция
- •Дизъюнкция
- •Импликация.
- •Эквиваленция или равнозначность
- •2.5 Вопросы для самопроверки.
- •3. Алгебра логики.
- •3.1 Понятие алгебры.
- •3.2 Основные логические функции
- •3.3 Основные законы алгебры логики
- •Постулаты алгебры логики
- •Законы алгебры логики. Теоремы одной переменной
- •Теоремы для двух и трех переменных
- •3.4 Тавтологии. Равносильные формулы
- •3.5 Полнота системы логических функций. Базис
- •Критерии полноты Поста-Яблонского
- •3.6 Вопросы для самопроверки
- •4. Введение в формальные (аксиоматические) системы
- •4.1 Формальные модели.
- •4.2 Принципы построения формальных теорий. Аксиоматические системы, формальный вывод.
- •4.3. Формальные теории. Основные понятия и определения
- •Выводимость
- •Полнота, независимость и разрешимость
- •Метатеория формальных систем.
- •4.5 Вопросы для самопроверки.
- •6.3 Метод резолюции для логики предикатов первого порядка
- •6.5Формы представления логических формул.
- •7. Неклассические логики
- •7.2 Нечетная логика
- •7.3 Модальная и пороговая логика
- •Пороговая логика
- •Машина Тьюринга
- •8.3 Рекурсивные функции
- •8.5 Алгоритмически неразрешимые проблемы.
- •8.6 Меры сложности алгоритмов. Классы задач р, ехр и np. Np полные задачи
4.5 Вопросы для самопроверки.
1) Как строятся аксиоматические системы?
2) Назовите основные понятия теории формальных систем.
3) В чем заключается непротиворечивость и полнота формальных систем?
4) Назовите основные составляющие части формальных систем?
5) В чем заключается принцип логического вывода?
6) В чем заключается разрешимость формальных систем?
7) Дать основные понятия аксиоматических систем.
8) В чем заключается метод использования формальных моделей при исследовании систем?
9) Разрешимо ли исчисление высказываний и исчисление предикатов?
10) Что такое синтаксис и семантика формальных систем?
5. Исчисление высказываний
Теорема Дедукции определяет условия, при которых можно проверить правильность схемы рассуждений без использования таблиц истинности. Именно на этой теореме основаны все методы логического вывода как в логике высказываний, так и в логике предикатов. Поэтому ее можно назвать основной теоремой теории логического вывода.
Теорема 5.1 Формула R является логическим следствием формул тогда и только тогда, когда формула общезначима.
Доказательство. (Необходимость). Предположим, что R является логическим следствием формулы и докажем при этом предположении, что общезначима. Пусть I есть произвольная интерпретация атомов. Если все истинны на I, то истинна на I и по определению логического следствия R истинна на I, и, следовательно, на этой интерпретации истинна. Если же хотя бы одна ложна на I, то на этой интерпретации ложна, но также истинна независимо от R в силу определения импликации. Следовательно, на I формула истинна. В силу произвольности интерпретации I этот вывод справедлив для всякой интерпретации, поэтому формула общезначима.
(Достаточность). Предположим, что формула общезначима. Тогда для всякой интерпретации, на которой все истинны, формула тоже истинна, и поскольку общезначима, на этой интерпретации R тоже истинна в силу определения импликации.
Теорема 5.2 Формула R является логическим следствием формул тогда и только тогда, когда формула невыполнима.
Доказательство. По теореме 5.1 формула R является логическим следствием формул тогда и только тогда, когда формула общезначима или, что то же, отрицание формулы невыполнимо. Но по закону де-Моргана равносильно . Теорема доказана.
На основании теорем 5.1 и 5.1 вопрос о правильности схемы рассуждения сводится к проверке общезначимости либо невыполнимости некоторой формулы. Эта проверка может быть выполнена множеством различных способов.
Как, анализируя формулу в нормальной форме, можно сделать вывод о ее общезначимости или невыполнимости? Возьмем ДНФ, то есть представление формулы в виде дизъюнкции конъюнкций . Для того чтобы сделать вывод о ее общезначимости, нужно анализировать всю формулу целиком: каждая конъюнкция общезначимой формулы может быть истинной только на нескольких интерпретациях. В то же время вывод о невыполнимости дизъюнкции конъюнкций можно сделать легко: каждая конъюнкция ДНФ невыполнимой функции должна быть невыполнима, а это очень легко проверить: конъюнкция литер невыполнима тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы одну пару противоположных литер. Полностью аналогично можно использовать представление в виде КНФ, но для определения общезначимости функции. Очевидными следствиями предыдущих теорем являются:
Теорема 5.3 Для того, чтобы формула R была логическим следствием формулы , необходимо и достаточно , чтобы каждый конъюнкт дизъюнктивной нормальной формы представления формулы содержал пару противоположных литер .
Теорема 5.4. Для того , чтобы формула R была логическим следствием формул ., необходимо и достаточно, чтобы каждый дизъюнкт конъюнктивной нормальной формы представления содержал пару противоположных литер.
Важно в процессе доказательства выводимости формул из аксиом использовать правила, которые следуют из классической логики высказываний. В рассмотренных в этом разделе примерах на каждом шаге вывода мы ссылались на
Определенное правило , следствием чего и стал вывод на данном шаге . Теперь мы можем привести полный перечень правил который поможет сориентироваться при выборе пути доказательства . Приведенные ниже правила следует трактовать следующим образом: из истинности левой части следует правая часть. Использован знак следования .
В1. Введение конъюнкции:
В2. Удаление конъюнкции:
ВЗ. Отрицание конъюнкции (закон Де Моргана):
В4. Введение дизънкции;
В5. Удаление дизъюнкции:
В6. Отрицание дизъюнкции (закон Де Моргана):
В7 Удаление импликации (modus ponens):
В8. Отрицание импликации:
В9. Введение эквивалентности:
В10. Удаление эквивалентности:
В11. Введение двойного отрицания:
В12. Удаление двойного отрицания:
В13. Правило дедкуции:
В14. Доказательство от противного:
В15. Сведение к абсурду:
В правилах В1 — В15 А и В — формулы, а Г— множество формул, возможно пустое.
Пример. Обосновать выводимость
Следовательно, по определению вывода на основе 1—5.
Этот метод использует тот факт, что если некоторая формула является невыполнимой, то наиболее сильное следствие этой формулы - константа False. Предложенный в 1965 году Дж. Робинсоном метод резолюции позволяет получить максимально сильное следствие множества формул с помощью систематической процедуры последовательного построения логических следствий формулы, называемых резольвентами. Иными словами, метод резолюции обладает свойством полноты: для формулы Ф следствие False обязательно будет получено, если Ф — невыполнима.
Теорема 5.5 Пусть В — логическое следствие формулы А. Тогда А&В = А.
Доказательство теоремы легко проводится на основании определения понятия логического следствия. Действительно, пусть условие теоремы выполнено. Тогда А => В True.
Отсюда
.
Определение. Резольвентой двух дизъюнктов называется дизъюнкт Dl v D2.
Теорема 5.6 . Резольвента является логическим следствием порождающих ее дизъюнктов.
Доказательство. Пусть DlvL и D2vL,- два дизъюнкта. Тогда DlvD2- их резольвента. Легко показать , что формула (DlvL)&(D2vL)=> (DlvD2) общезначима. Отсюда следует заключение теоремы.
Метод резолюций доказательства невыполнимости формулы Ф состоит в том, что формула Ф представляется в КНФ и к ней конъюнктивно присоединяются все возможные резольвенты ее дизъюнктов и получаемых в процессе доказательства резольвент. Полнота метода резолюций состоит в том, что он гарантирует получение для формулы Ф следствия False, если Ф невыполнима. Если же, перебрав все возможные резольвенты формулы Ф, мы не нашли пустую резольвенту, то Ф не является невыполнимой.
Метод резолюций есть фактически правило присоединения к рассуждению, в состав которого входят два утверждения А => В и А => С их следствия — утверждения В v С, что интуитивно совершенно очевидно. Действительно, первое утверждение гарантирует, что если А истинно, то В тоже истинно, а второе — что если А ложно, то истинно С. Очевидно, что в этом случае хотя бы одно из двух, В или С, всегда истинно. Добавление этого нового утверждения к исходному рассуждению не меняет его смысла.
6. Исчисление предикатов и теории первого порядка.
Если предметные переменные определены на конечной области, то операцию навешивания кванторов можно выразить через операции конъюнкции и дизъюнкции соответственно . пусть , тогда
в частном случае
Говорят, что квантор связывает соответствующую переменную. Предикат (формула) называется замкнутым, если связаны все переменные ( если нет свободных, т.е. несвязанных переменных).
Другими словами синтаксис логики предикатов можно определить так:
Алфавит
Предметные переменные x,y,z,… и переменных константы а,b,c,…
Функциональные константы или имена функции
Предикатные константы или имена предикатов
Логические операторы
Символы кванторов
Термы
Всякая переменная или константа есть терм.
если – термы и – функциональная n- местная константа , то – терм. Здесь верхний индекс определяет количество аргументов.
Никакие другие выражения не являются термами.
Атомы
Если - термы и - m-месная предиката константа , то - атом . При m=0 предикат Р( ) обращается в высказывание Р. Атомом является также равенство , т.е. выражение типа (s=t), где s и t – термы .
Никаких других атомов нет .
Формулы
Формулы (или правильно построенные формулы – ППФ) определяются следующим образом:
Всякий атом есть формула.
Если А – формула, то –А – формула
Если А и В – формулы , а х – свободная переменная , то
- формулы.
Никаких других формул нет.
В пределах формализма логики предикатов первого порядка запрещено использование предикатов в качестве термов, навешивания кванторов на предикатный символ.
Предикат служит для выражения свойства объекта (при n=1) и отношений между объектами (при п 2). Атомарная формула некотором "мире"истинна в некотором "мире" (М), если между объектами в М имеет отношение, соответствующее Р.
Связывание свободной переменной происходит либо квантификацией (взятием квантора по этой переменной) либо присвоением значения.